Nevoia de oameni (II)

Citiţi prefaţa acestei cărţi.
Citiţi un alt fragment aici.


În prestigioasa colecţie "Clasicii filozofiei universale", Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică a publicat de curând, în traducerea şi cu comentariul pertinent al lui Sorin Vieru, un prim volum de selecţii din scrierile logico-filozofice ale matematicianului, logicianului şi filozofului german Gottlob Frege. Sunt incluse aici lucrări importante ale acestui gânditor: Fundamentele aritmeticii, Funcţie şi concept, Despre concept şi obiect şi Ce este o funcţie? Dacă ţinem seamă de faptul că o versiune românească a celebrului articol despre sens şi referinţă a fost publicată în 1966 la Editura Politică în culegerea de articole Logică şi filozofie, iar Editura Dacia din Cluj-Napoca a publicat în 1975 versiunea românească a volumului al doilea al lucrării Dezvoltarea logicii de William şi Martha Kneale, volum consacrat în mare parte prezentării ideilor lui Frege, putem spune că cititorul român are acum la dispoziţie o informaţie bogată privind opera acestui autor atât de controversat. Dar nu ştim să se fi tradus în româneşte opera sa de căpătâi Begriffsschrift (Scrierea conceptuală) precum şi cele două volume din 1893 şi din 1903, care continuă Fundamentele aritmeticii. Probabil că ele vor forma conţinutul principal al volumului al doilea din opera lui Frege.

Gottlob Frege face parte dintre acei autori pe care abia o posteritate târzie i-a descoperit la adevărata lor valoare, scoţându-i dintr-un nemeritat con de umbră. Situată la punctul de întâlnire al filozofiei cu logica şi cu matematica, opera sa avea de la început acel caracter interdisciplinar pe care, la sfârşitul secolului al XIX-lea şi la începutul secolului nostru, ştiinţa de mult îl pierduse, trebuind să mai treacă încă vreo jumătate de secol pentru a-1 recâştiga. Ca şi contemporanul său, Charles Sanders Peirce, pe care abia ultimele decenii l-au adus în conştiinţa lumii savante drept creator al unei noi ştiinţe, de o tulburătoare semnificaţie, semiotica, Gottlob Frege apare abia în perioada din urmă în adevărata sa mărime de ctitor al logicii moderne. În 1979 vom putea marca centenarul acelui calcul logic pe care Frege l-a iniţiat în Scrierea conceptuală, pe linia gândirii lui Aristotel şi a lui Leibniz şi l-a dus la perfecţiune în operele sale următoare. În acest calcul se află în germene o bună parte din dezvoltarea ulterioară a logicii, inclusiv aceea care stă la baza utilizării calculatoarelor electronice moderne. Pentru că în acest limbaj formalizat al lui Frege, chiar dacă bazat pe o simbolistică greoaie şi naivă, se află preludiul metalimbajelor fără de care ştiinţa secolului nostru nu s-ar fi putut dezvolta; după cum tot în simbolistica lui Frege găsim anticiparea limbajelor artificiale actuale şi, între ele, a limbajelor de programare.

Cartea din 1884, Fundamentele aritmeticii, este oarecum duală celei din 1879. Dacă în Scrierea conceptuală aritmetica e luată ca model pentru construirea unui limbaj formal al gândirii pure, în Fundamente, dimpotrivă, se încearcă reducerea aritmeticii la logică, deci o definiţie logicistă a numărului natural. Să notăm că aceasta se întâmplă cu doi ani înaintea faimosului studiu al lui Dedekind privind teoria mulţimilor şi fundamentele logice ale aritmeticii şi ale analizei şi cu patru ani înainte ca Peano să publice acea axiomatică a numerelor naturale şi a aritmeticii pe care ulterior toate manualele aveau s-o preia.

Dar nu proiectele explicite ale lui Frege prezintă azi interes. Explicit, el dorea să reducă aritmetica la logică, deci nu se mulţumea cu considerarea numărului natural ca un concept primitiv, ci urmărea să-l reducă pe acesta la altele, mai rudimentare, de natură pur logică. Definiţia sa logistică a numerelor naturale, deşi a preocupat pe unii autori, rămâne o simplă curiozitate şi nu se poate compara cu succesul axiomaticii lui Peano a numerelor naturale. Este însă foarte important faptul că, folosind acest prilej, şi apoi în cărţile sale ulterioare privind aritmetica, Frege a dus la împlinire opera începută în 1879, elaborând un limbaj logic care întrecea în perfecţiune tot ce se cunoştea până atunci. Într-adevăr, pentru prima oară se urmărea nu numai explicitarea obiectelor şi faptelor primitive şi ordinea în care sunt deduse celelalte obiecte şi fapte cu care se lucrează, aşa cum metoda axiomatică obişnuia încă de la Euclid, ci şi procedeele de inferenţă utilizate în deducţiile matematice, anticipându-se astfel acea teorie a demonstraţiei pe care Hilbert urma s-o elaboreze abia câteva decenii mai târziu. Este foarte important faptul că această iniţiativă a lui Frege datează din 1879, deci este anterioară semnalării primelor antinomii ale teoriei mulţimilor, antinomii cărora li se atribuie de obicei rolul de a fi declanşat preocupările pentru natura raţionamentului matematic şi, în general, pentru fundamentele matematicii. Mai mult, cercetările lui Frege au stimulat, tocmai prin latura lor deficitară, descoperirea unor antinomii care au jucat un rol crucial în dezvoltarea ştiinţei. Avem în vedere faptul că, în celebra scrisoare pe care Russell i-o trimite în 1902 lui Frege, se află semnalată pentru prima oară faimoasa antinomie privind mulţimea tuturor mulţimilor care se conţin pe ele ca elemente. Antinomia apare în momentul în care ne întrebăm dacă această mulţime se conţine sau nu pe ea însăşi ca element. Dificultatea care apare aici e de natură pur logică; de altfel o dificultate de acelaşi fel apare şi în legătură cu noţiunea de predicat, după cum tot Russell a arătat. Tocmai aceste antinomii l-au stimulat pe Russell în edificarea teoriei tipurilor, a căror origine se află, din punct de vedere psihologic, şi în slăbiciunile pe care Russell le-a descoperit în raţionamentele lui Frege, exact cum, vreo două decenii mai târziu, teoria mulţimilor analitice şi proiective avea să se nască din greşeala pe care N. Suslin o descoperea într-un celebru memoriu al lui Henri Lebesgue. Dar aceasta nu era numai o lovitură dată filozofiei matematice a lui Frege (lovitură pe care acesta a recunoscut-o imediat), ci întregii mentalităţi a vremii. A doua lovitură, care avea să răpească, postum, orice şansă proiectului lui Frege de logicizare a aritmeticii, sau, mai precis, avea să-i fixeze o barieră pe care nimeni n-o bănuia, a venit câteva decenii mai târziu din partea lui Kurt Gödel, prin rezultatul său capital privind imposibilitatea formalizării totale a aritmeticii.

Un autor poate deveni important atât prin succesele cât şi prin eşecurile sale; acestea din urmă le pot uneori potenţa pe cele dintâi. J. M. Bochenski este cel care a afirmat că o singură lucrare se poate compara ca importanţă cu Scrierea conceptuală a lui Frege: Primele Analitice ale lui Aristotel, iar alţi autori au mers mai departe, pretinzând că acea cărticică de 88 de pagini pe care Frege o publică în 1879 ar fi cea mai importantă scriere care a apărut vreodată în logică. Manifestând toată prudenţa în faţa unor aprecieri de acest fel, avem datoria de a recunoaşte ceea ce îi datorăm efectiv gânditorului de la Jena. Cu Frege, analiza logică se emancipează de analiza lingvistică, înlăturându-se unele prejudecăţi cum ar fi aceea a descompunerii oricărei propoziţii în subiect şi predicat. Apare în schimb distincţia dintre conţinutul conceptual al unei propoziţii şi aserţiunea acestui conţinut, adică propoziţia propriu-zisă. Limbajul simbolic introdus de Frege nu mai imită pe cel matematic, ca la Boole. Ideografia lui Frege nu mai e liniară, ci bidimensională. Cu Frege avem prima dezvoltare a logicii ca sistem deductiv (în special prin axiomatizarea calculului prepoziţional, dar şi prin analiza funcţiilor propoziţionale şi prin construirea logicii predicatelor), prima utilizare a cuantorilor logici şi, prin aceasta, distincţia dintre variabile legate şi variabile libere. Prin calculul său logic, Frege e autorul primului sistem formal. Aceste fapte au marcat întreaga dezvoltare ulterioară a logicii.

De o mare importanţă este distincţia pe care Frege o operează între sens (Sinn) şi referinţă (Bedeutung), prin precizarea raporturilor posibile între ele, inclusiv posibilitatea absenţei referentului (pentru un sens ca "cel mai mic număr strict pozitiv") sau existenţa unor sensuri diferite cu acelaşi referent (de exemplu, numărul 4 se poate obţine şi ca pătrat al lui 2, şi ca sumă dintre 3 şi 1). Prin analiza acestei distincţii, ca şi prin ansamblul studiilor sale asupra conceptului, obiectului şi funcţiei, Frege îşi înscrie numele printre clasicii semioticii. De altfel, Frege este un continuator al lui Peirce şi în unele puncte ale logisticii sale (în special în logica relaţiilor). Este păcat că nu dispunem în româneşte nici măcar de o selecţie din opera lui Peirce, pentru ca cititorul român să poată compara ideile acestor doi mari gânditori, atât de târziu desluşiţi în semnificaţiile lor profunde. Colecţia "Clasicii filozofiei universale" ar trebui neapărat să-l înscrie pe Peirce în una din următoarele ei publicaţii. Să mai observăm că semiotica actuală este datoare cu unele clarificări privind raporturile dintre sensul lui Frege, interpretantul lui Peirce, intensiunea lui Carnap, significatum-ul lui Morris, conceptul lui Saussure, conţinutul lui Hjelmslev şi starea de conştiinţă a lui Buyssens, după cum se cer precizate şi raporturile dintre obiectul lui Frege şi cel al lui Peirce, denotaţia lui Russel, extensiunea lui Carnap, denotatum-ul lui Morris şi Bedeutung-ul lui Frege.

Dar dacă Frege îi continuă, deliberat sau implicit, pe Aristot, pe Leibniz, pe Boole, pe Peirce şi pe atâţia alţii, nu-i mai puţin adevărat că mai toţi marii logicieni care i-au urmat, de la A. N. Whitehead şi B. Russell la Ludwig Wittgenstein, de la Rudolf Carnap la Alonzo Church îi datorează foarte mult. Ce poate fi mai semnificativ pentru dezvoltarea cunoaşterii umane decât modul în care tocmai unele impasuri din analizele lui Frege conţin în germene teoria tipurilor a lui Russell? Sau decât rolul semioticii lui Frege în studiul logicii limbilor naturale, tocmai pentru că această semiotică şi-a luat distanţa necesară faţă de suportul ei lingvistic?

Mai puţin inspirat în filozofia sa matematică, Frege rămâne în primul rând prin opera sa de fondator al logicii moderne, de clasic al semioticii şi al filozofiei logice a limbajului.

Întreaga evoluţie a pătrunderii ideilor lui Frege în gândirea filozofică actuală este semnificativă pentru modul sinuos şi discontinuu în care sunt recuperate uneori marile valori spirituale.


În Transilvania, cele mai interesante personalităţi ale matematicii secolului al XIX-lea sunt Farkas Bolyai (1775-1856) şi mai cu seamă fiul său János Bolyai (1802-1860). Contrastul dintre ei e atât de puternic, încât capătă o valoare simbolică. Ei reprezintă două tipuri intelectuale esenţial diferite şi, în acelaşi timp, două destine diametral opuse. Primul, cu o vitalitate debordantă, cu o putere de muncă uriaşă, manifestată în cele mai variate domenii ale matematicii, precum şi în silvicultură, în tehnică, în pedagogie, în filozofie, în etnografie (a studiat obiceiurile de nuntă de prin părţile mureşene), în pictură şi în literatură (a scris drame şi poezii: în volumul omagial "Bolyai Farkas", publicat în 1957 la Târgu-Mureş, se află un articol despre opera sa literară); al doilea, cu o sănătate precară, cu o putere de muncă redusă, concentrat asupra problemelor de fundamentele geometriei (dar şi iubitor de muzică şi autor al unor invenţii tehnice). Primul foarte sociabil, cu o bogată viaţă de familie, cultivând din belşug relaţiile umane (deosebit de semnificativă e corespondenţa sa cu Gauss, cel mai mare matematician al momentului şi, poate, al tuturor timpurilor); al doilea, timid şi însingurat, absorbit de viaţa sa interioară, în ciuda unor aparenţe contrare, legate de cariera sa militară şi de numeroasele conflicte cu tatăl său (a se vedea impresionantele "Confesiuni ale lui János Bolyai" publicate în 1968 de S. Benkö, la Editura Kriterion, în limba maghiară şi, nu de mult, traduse în româneşte).

Opera principală a lui Farkas Bolyai este Tentamen (1832-1833), lucrare scrisă în limba latină, tratând despre bazele matematicii, în care se schiţează una din primele reprezentări ale matematicii ca sistem axiomatic-deductiv, se anticipează unele concepte de bază ale teoriei mulţimilor şi ale logicii matematice, unele principii în construirea numerelor reale sau complexe, noţiunea de limită superioară (pe care a aplicat-o la determinarea lungimii unui arc de curbă şi la studiul convergenţei şirurilor mărginite şi crescătoare), noţiunea de tăietură Dedekind. F. Bolyai e unul dintre primii care realizează insuficienţa conceptului eulerian de funcţie (se ştie că L. Euler condiţiona funcţia de existenţa unei expresii analitice), propunând în schimb o definiţie a funcţiei foarte apropiată de aceea din 1837 a lui Dirichlet, valabilă şi astăzi. Alte rezultate se referă la aplicaţiile analizei în geometrie şi fizică, la criteriile de convergenţă ale seriilor, la rezolvarea ecuaţiilor algebrice. (Pentru detalii în legătură cu F. Bolyai a se vedea cartea lui Tiberiu Weszely, "Farkas Bolyai", Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 1974).

Marea dramă a vieţii lui F. Bolyai a fost însă încercarea nereuşită de a demonstra postulatul al cincilea (al paralelelor) al lui Euclid, conform căruia printr-un punct exterior unei drepte nu se poate duce decât o singură paralelă la acea dreaptă. Nu l-a putut consola de acest eşec faptul că numeroşi iluştri predecesori (Ptolemeu, Proclus, Omar Khayyam, Saccheri, Lambert şi alţii) au eşuat în aceeaşi încercare. Dându-şi seama de proporţiile eşecului (consacrase problemei paralelelor o mare parte a vieţii sale), îl sfătuieşte pe fiul său să se ferească de problema paralelelor. "Îţi poţi irosi tot timpul, toată sănătatea, liniştea şi fericirea întregii tale vieţi". Când Farkas îi scria aceste rânduri, János nu avea decât 17 ani. Aveau să mai treacă zece ani până când János îşi termină lucrarea Scientia Spatii, pe care o dă tatălui său spre publicare. În 1831, Farkas trimite lui Gauss o copie a lucrării lui János, lucrare care, prin volumul ei redus, contrasta cu numărul mare de pagini pe care Farkas le scrisese pe aceeaşi temă. Spre surprinderea tatălui său, János stabilea imposibilitatea demonstrării postulatului paralelelor. Gauss confirmă imediat ideile lui János într-o scrisoare celebră trimisă lui Farkas: "...calea pe care a ales-o fiul tău şi rezultatele la care a ajuns coincid aproape în întregime cu propriile mele meditaţii care m-au preocupat timp de aproape 30-35 de ani... Intenţionam... să nu public nimic despre ideea mea în timpul vieţii... puţini ar fi aceia care ar putea-o înţelege... intenţia mea era să o scriu totuşi cândva, ca cel puţin să nu dispară odată cu mine... mă bucur foarte mult că tocmai fiul vechiului meu prieten mi-a luat-o înainte atât de strălucit".

Nici Gauss, nici Bolyai nu ştiau în acel moment că, aproape concomitent, Lobacevski ajunsese la aceleaşi idei (pe care le anunţase public în 1826 şi le publicase în 1829): postulatul paralelelor nu poate fi demonstrat, se poate construi o geometrie care nu ascultă de el.

Când situaţia este coaptă pentru ca o problemă ştiinţifică să fie rezolvată, soluţia ei poate să apară concomitent în mai multe puncte ale globului. Stabilirea paternităţii soluţiei poate deveni în acest caz delicată. Dar autorii se pot deosebi prin gradul de explicitare şi completitudine cu care au exprimat soluţia, prin gradul de încredere în adevărul ei şi prin gradul de îndrăzneală a o face publică, mai cu seamă atunci când ea contrazice o idee înrădăcinată de mii de ani în comunitatea ştiinţifică mondială. Lui Gauss i-a lipsit acest curaj (dar se ştie, din analiza manuscriselor şi a corespondenţei sale, că el a fost cel dintâi în posesia ideii de geometrie neeuclidiană). Aspecte parţiale ale geometriei neeuclidiene au apărut, se pare, încă din antichitate (chiar înainte de Euclid) şi, în orice caz, la Saccheri şi la Lambert; Schweickart şi Taurinus au fost măcinaţi de îndoiala că geometria neeuclidiană ar putea să fie pur şi simplu o eroare. Singurii care, descoperind independent unul de altul posibilitatea unei alternative neeuclidiene a geometriei, au avut şi încrederea în adevărul ei şi curajul de a înfrunta "ţipetele beoţienilor" (cum spunea Gauss) au fost János Bolyai şi N. I. Lobacevski.

Transformându-şi fiul în discipol, Farkas Bolyai a devenit, la rândul său, o creaţie a acestuia; geniul şi celebritatea lui János Bolyai au mărit considerabil notorietatea părintelui său.


Savant, filosof, scriitor

Încercând să-mi adun amintirile şi sursele de informaţie relative la opera lui Henri Poincaré (H.P.), nu am putut rezista tentaţiei de a merge chiar la textele acestui savant care a dominat scena matematică a lumii în ultima parte a secolului al XIX-lea şi în primul deceniu al secolului XX-lea. În acest fel m-am aflat, pentru prima oară, în faţa ediţiei în unsprezece volume masive ale scrierilor lui H.P. Cum a fost posibil ca într-o viaţă relativ scurtă (a decedat la vârsta de 58 de ani) să fie elaborată o operă atât de vastă, de originală, de profundă, de variată şi totuşi atât de unitară? Iată o adevărată enigmă!

La valoarea de cunoaştere a acestei opere ne vom referi în cele ce urmează. Este un loc comun să se considere că de la un om de ştiinţă rămân ideile şi rezultatele sale, mereu reformulate, nu şi textele sale. H.P. este un contraexemplu. În Leçons de mécanique celeste, în La valeur de la science, La science et l'hypothèse, Science et méthode, calitatea literară nu poate fi despărţită de profunzimea ştiinţifică şi filozofică. Să nu ne mirăm deci că H.P. este, pe cât ştim, singurul matematician onorat şi cu calitatea de membru al secţiei literare a Institutului Franţei. Dacă Italo Calvino a apreciat că Galileo Galilei este cel mai mare prozator al Italiei (exceptându-l de Dante), nu ne îndoim că, într-o sinteză culturală viitoare, lui H.P. i se va rezerva locul cuvenit în galeria scriitorilor Franţei.

Pasiunea pentru astronomie

Viaţa lui Poincaré aproape se confundă cu opera sa. Copilul este pasionat de secretele naturii, se dovedeşte a fi bun la toate, în ciuda constituţiei sale firave. La 11 ani ştie cum funcţionează telegraful şi poate explica legile ecoului. La 13 ani e iniţiat în politică şi în filosofie şi organizează, în grădina bunicilor săi, un guvern pentru trei naţiuni, elaborând şi câte o constituţie pentru fiecare dintre ele. Scrie o dramă despre Jeanne d'Arc. La 16 ani deprinde cu uşurinţă limba germană. Susţine mai întâi un bacalaureat în Litere, apoi unul în Ştiinţe. Trece prin câteva şcoli de inginerie, devine inginer de mine, calitate în care va face şi o expertiză la Reşiţa. La vârsta de 24 de ani susţine teza de doctorat, cu o problemă de teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale. Ţine, la Universitatea din Paris, cursuri de fizică matematică, de electricitate, de termodinamică, de optică, de teoria turbulenţei şi de probabilităţi.

Această peregrinare prin activităţi dintre cele mai eterogene poate crea impresia unei dezordini intelectuale generatoare de superficialitate. H.P. va converti însă itinerarul său în fizică şi inginerie într-o sursă de idei şi experienţe care vor fecunda întreaga sa operă. Pasiunea sa se va dovedi a fi astronomia, în mod specific: mecanica cerească. Obţine rezultate în problema celor trei corpuri, pentru care primeşte şi un premiu instituit de regele Suediei. Problema stabilităţii sistemului solar, care continuă şi azi să fie o provocare la adresa ştiinţei, se află la sursa preocupărilor celor mai importante ale lui H.P.

Poincaré în faţa neliniarului

Ne aflăm în anii '80 ai secolului al XIX-lea. În problema celor n corpuri (mişcarea planetelor, în condiţiile atracţiei pe care fiecare o exercită asupra celorlalte), metodele clasice (Kepler, Newton, Laplace, Lagrange etc.) aproape că-şi epuizaseră posibilităţile. Chiar numai pentru n=3, sistemul de ecuaţii obţinut nu mai poate fi rezolvat explicit, în termeni de funcţii cunoscute. H.P. caută metode de citire a proprietăţilor soluţiilor chiar pe forma ecuaţiilor diferenţiale (neliniare). Iniţiază astfel ceea ce a devenit în secolul al XX-lea teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, de natură preponderent topologică. Pentru curbele integrale, îşi pune întrebări privind forma lor: "Descrie punctul în mişcare o curbă închisă?" "Rămâne el într-o anumită porţiune a planului?" (în termeni astronomici: este orbita stabilă sau instabilă?). H.P. constată că cheia comportamentului soluţiilor este dată de ceea ce se întâmplă în vecinătatea punctelor singulare, pe care le organizează în patru tipuri, unele de stabilitate a mişcării. Gândul ne duce imediat la teoria singularităţilor dezvoltată în anii '60 şi '70 ai secolului al XX-lea de René Thom (uneori cunoscută sub numele de teoria catastrofelor), cu motivaţii biologice şi lingvistice, şi la teoria sistemelor dinamice neliniare care a condus la ştiinţa haosului determinist, cu motivaţii venind de astă dată din multe alte domenii, de la meteorologie şi ecologie la biologie şi economie. Poincaré s-a aflat mereu în actualitate.

Poincaré, între matematică şi filosofie

Dar ştiinţa îşi are ironia ei involuntară. În cele mai interesante situaţii, atractorii sistemelor dinamice neliniare au statutul de fractali, în sensul teoriei elaborate de BenoitMandelbrot, în anii '70 ai secolului al XX-lea. De obicei, dar nu totdeauna, ei au dimensiunea Hausdorff neîntreagă. Sunt mulţimi "urâte", care nu admit o reprezentare vizuală, pot fi numai aproximate prin ceea ce este accesibil pe cale vizuală; sunt moştenitoare ale acelor făpturi pe care matematicieni ca Charles Hermite şi H.P. le considerau creaţii ale diavolului: funcţii continue fără derivată, curbe fără tangentă etc. "Logica produce uneori monştri", scrie H.P. în 1899 (în Enseignement Math.), şi continuă: "Timp de o jumătate de secol am putut vedea o mulţime de funcţii bizare, tot mai diferite de funcţiile oneste, care servesc unui scop. Mai multă sau mai puţină continuitate sau derivată etc. Sub aspect logic, aceste funcţii ciudate sunt cele mai generale. Dar acelea pe care le întâlnim fără a le căuta şi care urmează legi simple apar drept cazuri particulare". Avem aici idealul de frumuseţe euclidiană, de simplitate şi ordine. Dar, prin matematica sa, H.P. a contribuit la erodarea acestui mod de a vedea lumea. Savantul H.P. nu l-a urmat totdeauna pe filosoful H.P., acesta din urmă a fost un intuiţionist menţionat azi în filosofia ştiinţei alături de Kronecker şi de Brouwer, care nici ei, în opera lor matematică, nu au fost consecvenţi cu vederile lor filosofice. Aparenta dezordine a fractalilor ascunde o ordine şi o simplitate remarcabile, constând în fenomenul de auto-similaritate. Tot aşa, H.P. a respins teoria cantoriană a mulţimilor şi a numerelor transfinite ("Generaţiile viitoare vor considera Mengenlehre o boală de care lumea s-a vindecat", spunea la Congresul de matematică de la Roma, din 1908). Îi avea de partea sa pe Hermann Weyl, pe Kronecker şi pe Felix Klein, dar ca adversari pe Hurwitz, Hadamard şi Hilbert; acesta din urmă exclama în 1926: "Nimeni nu ne va putea expulza din paradisul pe care Cantor l-a creat pentru noi", iar admiraţia sa pentru aritmetica transfinită era totală. Prin joncţiunea cu logica matematică şi cu problemele de fundamente, teoria mulţimilor şi-a avut contribuţia ei esenţială la acea logică recursivă care avea să ducă mai departe idealul de constructivitate pe care H.P. l-a visat, atunci când preconiza renunţarea la orice obiect care nu poate fi definit printr-un număr finit de cuvinte.

Fondator al topologiei combinatorii

Studiul ecuaţiilor diferenţiale l-a condus la cercetarea structurii "suprafeţelor" cu patru dimensiuni folosite în reprezentarea funcţiilor algebrice f(x, y, z) = 0, unde x, y şi z sunt variabile complexe. Ne aflăm în ultimii ani ai secolului al XIX-lea şi primii ani ai secolului al XX-lea. H.P. iniţiază un studiu calitativ sistematic al figurilor n-dimensionale şi propune o teorie pur geometrică a varietăţilor care generalizează suprafeţele Riemann. Metoda lui H.P. (Rend. Circ. Palermo, 1899) poate fi comod formulată în limbajul complexelor şi simplexelor, introdus ulterior de Brouwer. Urmează, în ordine, noţiuni şi rezultate ca numerele lui Betti (provenite din numerele de conectivitate ale acestuia; fiecărei dimensiuni a simplexelor posibile într-un complex i se asociază numărul ciclurilor independente posibile), coeficienţii de torsiune, caracteristica unui complex n-dimensional (o generalizare a numărului lui Euler), formula Euler-Poincaré (care leagă caracteristica unui complex de numerele sale Betti), teorema de dualitate (pe baza căreia, la o varietate închisă, orientabilă, n-dimensională, numărul Betti de dimensiune p este egal cu cel de dimensiune n-p), grupul fundamental al unui complex (numit grupul lui Poincaré sau primul grup de omotopie). Ideea provine din nevoia de a distinge între conexiunea simplă şi cea multiplă a unei regiuni plane.

În această ordine de idei, H.P. enunţă câteva conjecturi majore, care au stat în atenţia lumii matematice a secolului al XX-lea. Una dintre ele se referă la caracterizarea topologică a sferelor din spaţiul n-dimensional şi a fost formulată, pentru n = 3, exact cu o sută de ani în urmă (deci în 1904): Orice varietate închisă 3-dimensională, orientabilă, simplu conexă este homeomorfă cu o sferă. Ulterior a fost extinsă la valori arbitrare ale lui n: Orice varietate închisă, n-dimensională, simplu conexă, care are numerele Betti şi coeficienţii de torsiune ale sferei n-dimensionale este homeomorfă cu aceasta. Contrar aşteptărilor, cazul cel mai dificil, mai rezistent, a fost n = 3, pentru care recent Perelman, din Rusia, a propus o demonstraţie care se află în curs de examinare, între timp şi validată. Pentru celelalte valori ale lui n, confirmarea conjecturii a venit în etape la care au participat topologi ca S. Smale, J. R. Stallings şi E. C. Zeeman, începând cu anii '60 ai secolului al XX-lea.

Ipoteza la Poincaré şi abducţia la Peirce

H.P. s-a distanţat hotărât de logicismul lui Russell şi a accentuat mereu rolul inducţiei, fără de care deducţia ne-ar menţine, în matematică, într-un cerc vicios. A respins rigoarea bazată exclusiv pe logică. La Congresul internaţional de matematică de la Paris, din 1900, H.P. a constatat, cu un amestec de amărăciune şi ironie, că "fiecare generaţie a crezut a fi atins rigoarea absolută, aşa cum credem şi noi acum; ei s-au înşelat şi oare nu ne înşelăm şi noi acum? [...] Azi în analiză, dacă vrem să fim riguroşi, singurele lucruri care nu ne vor dezamăgi sunt silogismele sau intuiţia numărului pur. Putem spune că am atins rigoarea absolută". H.P. rezervă ipotezei şi intuiţiei partea creatoare a matematicii. Să nu credem însă că, în activitatea sa matematică, a făcut vreun rabat la rigoare; pentru a da un singur exemplu, a lucrat timp de 25 de ani la demonstraţia teoremei generale de uniformizare pentru curbe, teoremă anunţată în 1883 (Bull. Soc. Math. France), dar demonstrată abia în 1908 (Acta Math.). H.P. trăieşte un moment în care certitudinile matematicii nu sunt încă puse la îndoială, în ciuda faptului că i se contestă caracterul exclusiv deductiv. Distinge mai multe feluri de ipoteze: cele care pot fi confirmate de experienţă, devenind astfel adevăruri fecunde; cele care, fără a ajunge să ne inducă în eroare, pot fi utile, fixându-ne ideile şi cele care sunt numai în aparenţă ipoteze, fiind de fapt definiţii sau convenţii deghizate. Tipul al treilea este cu deosebire important în matematică, el se reflectă în modalitatea imperativă atât de caracteristică limbajului matematic. În aceste convenţii vede H.P. sursa rigorii matematice, ele fiind produsul creaţiei libere a spiritului nostru.

Accentul pus pe ipoteză şi pe generalizare, ca formă a ipotezei, ca surse ale creativităţii, rolul important atribuit inducţiei ca sursă de creativitate, ne atrag atenţia asupra unei doctrine convergente cu aceea a lui Poincaré şi care a fost elaborată concomitent de Charles Sanders Peirce, unul dintre cei mai importanţi matematicieni şi logicieni din S.U.A în a doua jumătate a secolului al XIX-lea şi începutul secolului al XX-lea. Avem în vedere teoria acestuia despre cele trei tipuri de inferenţă: deducţia, inducţia şi abducţia. Peirce include în deducţie acele moduri de procedare în care determinăm ce este necesar (sau probabil) să fie cazul dacă o anumită ipoteză este adevărată (1902-1903). Într-o altă formulare, din 1898, Peirce defineşte deducţia drept inferenţa consecinţelor probabile sau necesare ale unei ipoteze. Inducţia este definită drept acel tip de inferenţă în care încercăm să determinăm gradul de potrivire dintre o ipoteză dată şi unele fapte încă neobservate. Abducţia este procesul de formare a ipotezelor explicative. Observăm că ipoteza este o componentă obligatorie a fiecărui tip de inferenţă, fapt care confirmă importanţa ei şi justifică şi atenţia pe care Poincaré i-o acordă. Inducţia şi abducţia au itinerare opuse. Pentru inducţie, ipoteza este punctul de plecare, pe când în abducţie ea este punctul final. Desigur, formulând lucrurile în acest fel, comitem o simplificare, deoarece, în cele două contexte, cuvântul "ipoteză" este folosit în accepţiuni diferite. Cum stau aceste două accepţii faţă de cele trei tipuri de ipoteze considerate de Poincaré? Iată o problemă care merită a fi cercetată. H.P. nu se referă explicit la abducţie, dar implicit ea intervine. Peirce subliniază că, dintre cele trei tipuri de inferenţă, abducţia este singurul tip creator. Abordarea abductivă este cea mai creatoare, deoarece exploatează capacitatea euristică. Deducţia este cea mai apropiată de certitudine, iar inducţia este cea mai accesibilă şi mai populară. Fiecare dintre ele este, într-un anume sens, cea mai bună, dar nici una dintre ele nu se poate dispensa de celelalte. Nici una dintre ele nu poate fi confundată cu celelalte, chiar dacă frontiera dintre ele nu este totdeauna foarte clară.

Generalizare, predicţie, probabilitate

Să ne referim acum la modul în care înţelege H.P. ipoteza în fizică. "Mai întâi de toate, savantul trebuie să prevadă", observă H.P. Este explicabilă această atitudine la un fiu al secolului al XIX-lea, în care alţi doi francezi, Auguste Comte şi Louis Pasteur, au lansat sloganul "Savoir c'est prévoir", demn de ştiinţa galileo-newtoniană. Dar acest slogan este atenuat la H.P. prin faptul că determinismul pur este înlocuit cu cel probabilist. Compromisul este motivat prin observaţia: "Este totuşi preferabil să prevezi fără certitudine decât să nu prevezi deloc". Ne apropiem astfel de mentalitatea secolului al XX-lea, care slăbeşte rolul previziunii în folosul funcţiei explicative şi care se resemnează în faţa pierderii certitudinii. Dar de fapt, certitudinea pe care credeam că am pierdut-o nu a existat niciodată, ea era numai efectul ignoranţei noastre.

H.P. observă că fără generalizare, previziunea este imposibilă. Reciproca nu este adevărată, poţi generaliza fără a prevedea. Mai este interesant faptul (analizat de René Thom) că nu orice previziune are şi o funcţie explicativă, după cum nu orice explicaţie a unor fenomene conduce la previziunea lor (a se vedea, de exemplu, faptele de limbă). Să mai adăugăm la toate acestea o altă idee a lui H.P.: generalizarea este o formă de ipoteză. Ce se întâmplă cu o ipoteză care nu se confirmă? A fost ea inutilă? Nu, deoarece şi rezultatele negative au semnificaţia lor.

Adoptăm uneori ipoteze pe care nu le conştientizăm. Ele produc mari daune procesului de cunoaştere, deoarece eventualele lor consecinţe negative nu pot fi evitate, necunoscându-le cauza, iar eventualele lor efecte benefice nu pot fi controlate, menţinute şi, eventual, mărite, deoarece nu putem acţiona asupra factorului care le-a determinat. În această ordine de idei, secolul al XX-lea a adus multe clarificări, prin studii ca acela al lui Thomas Kuhn, privind rolul schimbărilor de paradigmă în evoluţia ştiinţei. H.P. înlătură prejudecata inducţiei ca proces unidirecţional, de la particular la general, argumentând că "nu putem experimenta fără o idee preconcepută". H.P. anticipează aici studiile asupra inducţiei, efectuate de Carl Hempel şi Nelson Goodman în a doua jumătate a secolului al XX-lea, studii care pun în evidenţă caracterul ei circular.84

Rolul subconştientului în creaţia matematică

Să revenim la matematica lui H.P., căutând să pătrundem în laboratorul său de lucru. Funcţiile automorfe, considerate de H.P. şi de Felix Klein în legătură cu studiul ecuaţiilor diferenţiale liniare, sunt o extensiune a celor circulare, a celor hiperbolice şi a celor eliptice; lor le-a dedicat H.P. cinci articole în primele numere din Acta Mathematica, în anii '80 ai secolului al XIX-lea. Kroneker îl avertiza pe Mittag-Leffler, editorul revistei, că riscă s-o compromită ("s-o ucidă") prin publicarea acestor articole "imature şi obscure". Numai că articolele respective i-au adus celebritatea atât lui H.P., cât şi revistei care le-a publicat; Acta Mathematica a devenit repede una dintre cele mai prestigioase reviste de matematică şi îşi păstrează şi azi cota înaltă, unanim recunoscută.

Să vedem despre ce este vorba. Funcţia sinz rămâne neschimbată în valoare atunci când z este supus unei transformări din grupul z' = z + 2 mΠ. Funcţia hiperbolică sinhz rămâne neschimbată în valoare faţă de o transformare din grupul z' = z + 2Πmi. Tot aşa, o funcţie eliptică rămâne invariantă în valoare în raport cu o transformare din grupul z' = z+ mw + m'w' unde w şi w' sunt perioade ale funcţiei. Toate aceste grupuri sunt discontinue (termen introdus de H.P.), în sensul că transformatele unui punct prin transformările grupului sunt în număr finit în orice domeniu închis şi mărginit. Toate cele trei tipuri de funcţii sunt cazuri particulare ale funcţiilor automorfe, definite prin proprietatea de invarianţă faţă de orice transformare din grupul z' = (az + b)/(cz + d) (unde a, b, c şi d sunt numere reale sau complexe şi ad - bc =1) sau dintr-un subgrup al acestuia. În plus, grupul trebuie să fie discontinuu în orice parte finită a planului complex. Primele funcţii automorfe studiate au fost cele eliptice modulare (invariante faţă de grupul modular, obţinut din cel de mai sus prin condiţia ca a, b, c şi d să fie numere reale întregi). O altă clasă de funcţii automorfe este introdusă de H.P. sub numele de funcţii fuchsiene (după Lazarus Fuchs, primul care a înţeles că locul natural al teoriei ecuaţiilor diferenţiale este în cadrul teoriei funcţiilor de variabilă complexă). Este vorba de funcţii meromorfe uniforme într-un cerc (cercul fundamental) invariante faţă de clasa transformărilor liniare de forma z' = (az +b)/(cz + d), unde a, b, c şi d sunt numere reale şi ad - bc = 1. Aceste transformări lasă invariante cercul şi interiorul său şi formează un grup, numit grupul fuchsian. H.P. arată că funcţiile fuchsiene sunt mai generale decât cele eliptice modulare. Undeva, H.P. mărturiseşte că, preocupat de natura grupurilor fuchsiene, a avut revelaţia faptului că studiul acestora revine la cel al grupului de translaţii din geometria lui Lobacevski; dar această iluminare nu s-a produs la biroul său de lucru, ci în momentul în care tocmai se urca într-o trăsură. H.P. a fost mereu impresionat de rolul subconştientului în creativitatea matematică, un fapt pe care şi artişti ca Mozart l-au afirmat, în ceea ce priveşte creativitatea artistică (a se vedea, în acest sens, cartea lui Hadamard despre psihologia invenţiei în matematică).

Poincaré, etica cercetării şi unitatea matematicii

Următoarea clasă de funcţii automorfe pe care o introduce H.P. este aceea a funcţiilor lui Klein, invariante faţă de grupurile lui Klein, care, în esenţă, nu sunt nici finite, nici fuchsiene, dar păstrează forma acestora şi sunt discontinue în orice parte a planului complex. Regiunea lor fundamentală nu mai este cercul. H.P. arată că aceste funcţii permit rezolvarea unei întregi clase de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n, cu coeficienţi algebrici. Un amănunt anecdotic: Klein îi atrăsese atenţia că nu Fuchs, ci el, Klein, considerase primul funcţiile numite de H.P. "fuchsiene"; de fapt, în 1881, când H.P. introduce funcţiile automorfe ca extensiune a funcţiilor eliptice, el nu ştie că Felix Klein avea prioritatea în această privinţă. Pentru a-i acorda o compensaţie, H.P. a folosit epitetul "kleinian" mult dincolo de ceea ce i se datora realmente lui Klein. Acesta era profilul moral al lui H.P. Etica cercetării, azi de multe ori în suferinţă, are în H.P. un reper.

Iată deci un itinerar care, pornind din fizică şi astronomie, ne conduce în domeniul ecuaţiilor diferenţiale, al analizei reale şi complexe, al algebrei şi geometriei. În aceasta constă unitatea matematicii, mereu puternică la H.P. Foarte elocventă este, din acest punct de vedere, reflecţia lui H.P. în legătură cu geometriile neeuclidiene. Modul în care H.P. stabileşte lipsa de contradicţie a geometriei hiperbolice nu poate fi despărţit de preocupările sale privind funcţiile automorfe. Fondatorii geometriilor neeuclidiene au crezut în relevanţa lor pentru astronomie, dar Cayley, Klein şi Poincaré le priveau mai degrabă ca o curiozitate logică. În ceea ce priveşte legătura cu fizica, preferinţa lor era pentru geometria euclidiană, H.P. considera că ştiinţa trebuie să încerce să folosească geometria euclidiană; chiar dacă aceasta nu ar fi adevărată, este cea mai comodă. "Chiar dacă suma unghiurilor unui triunghi este mai mare decât 180°, este mai convenabil să acceptăm că spaţiul fizic este descris de geometria euclidiană [...], deoarece aceasta este mai simplă" (Bull. Soc. Math. France 15, 1887). Este inutil să mai adăugăm că, în această problemă, istoria nu i-a dat dreptate lui H.P.; a se vedea, de exemplu, teoria relativităţii. Dar îi era greu omenirii să se despartă de un mod de a vedea format de-a lungul a mii de ani, pentru a înţelege că există şi alte realităţi decât aceea care corespunde viziunii euclidiene. În ceea ce priveşte criteriul simplităţii, Morris Kline (Mathematical thought from ancient to modern times, vol. 3, Oxford Univ. Press., New York-Oxford, 1972, p. 916) este de părere că în chestiunea discutată intervine nu numai simplitatea geometriei, ci şi simplitatea întregii teorii ştiinţifice în care geometria este încadrată. De fapt, chiar gândirea lui H.P. a evoluat în această privinţă, apropiindu-se ulterior de aceea pe care Einstein avea s-o promoveze.

Să mai observăm că H.P. a fost primul care a propus (chiar în anul morţii sale) o definiţie recursivă pentru noţiunea de dimensiune în spaţii topologice, luată ca reper în cercetările ulterioare ale lui L.E.J. Brouwer, P. Uryson şi Karl Menger privind teoria dimensiunii.

Poincaré ca matematician total

Ca şi Gauss, într-o perioadă anterioară, H.P. a fost un matematician total, iar aici nu ne-am putut referi decât la câteva dintre contribuţiile sale. A-l eticheta într-un fel sau altul, intuiţionist, constructivist etc., este riscant. Am căzut şi noi în această capcană, dar acum ne vom lua distanţa şi vom constata că numitorul comun al cercetărilor sale include structura grupală, căreia îi recunoaşte, ca şi Felix Klein, capacitatea unificatoare: "Teoria grupurilor este întreaga matematică, separată de materia ei şi redusă la o formă pură". Secţiunea precedentă a oferit o ilustrare a acestei observaţii. În ce fel se ocupă ştiinţa de realitate? "Ceea ce poate atinge ea nu sunt lucrurile înseşi, ci raporturile dintre ele, în afara cărora nu există realitate care să poată fi cunoscută". ("La science et l' hypoyhèse"). Programul Bourbaki s-ar fi putut revendica fără rezerve de la aceste idei. Respingând caracterul exclusiv deductiv al raţionamentului matematic, H.P. vine în întâmpinarea unor tendinţe care aveau să devină dominante în a doua jumătate a secolului al XX-lea. Matematica este prezentată în formă deductivă, dar adevărata ei natură este de o mare eterogenitate, articulând componente logice, intuitive, observaţionale şi experimentale. Cum altfel s-ar explica distanţa care separă, atât de frecvent, momentul descoperirii de cel al demonstraţiei? Conjectura este o formă simptomatică a acestui fenomen, iar H.P., prin conjecturile sale, l-a concurat în celebritate pe David Hilbert, cu faimoasele sale probleme. Hilbert a fost şi el un matematician total şi au urmat alţi matematicieni totali, unul dintre ei fiind A.N. Kolmogorov, al cărui centenar l-am marcat în urmă cu un an.

În momentul în care nu vom mai avea astfel de savanţi, ştiinţa va fi pierdută; dar nu se va întâmpla acest lucru, deoarece ştiinţa are inteligenţa necesară, are instinctul de conservare care echilibrează analitic-sinteticul prin holistic şi logicul prin intuitiv.

Şi mai e ceva. Ştiinţa a fost mereu opusă spiritualităţii. H.P. a reuşit să ne convingă că dimensiunea spirituală a ştiinţei nu este neglijabilă, că ea există şi este puternică, iar matematica este, în bună măsură, oglinda acestei spiritualităţi.

Henri Poincaré a marcat întreaga ştiinţă a perioadei care i-a urmat.


Există o foame de Spiru Haret, vizibilă şi în faptul că la distanţă de numai un an au apărut două ediţii noi ale Operelor sale, una în 2009, la Bucureşti, la Editura comunicare.ro, alta în 2010, la Iaşi, la Tipo Moldova.

În multe privinţe, relectura acestor Opere oferă un spectacol intelectual de care am beneficiat cu mare satisfacţie în ultima vreme şi aş dori să desprind câteva aspecte.

Polemica dintre Haret şi Maiorescu privind rolul învăţătorului la sate: să se ocupe exclusiv de clasa sa de elevi, cum considera Maiorescu, sau să fie şi intelectualul satului, cum considera Haret? Argumente se pot aduce în favoarea fiecăruia dintre aceste puncte de vedere. Exacerbarea acestei polemici se poate explica şi prin apartenenţa celor doi la partide politice diferite. Dar în directa continuare a acestei dispute s-a aflat o alta; în ce măsură să se ocupe profesorul de predarea disciplinei sale şi în ce fel să aibă şi îndatoriri care depăşesc specialitatea sa? De-a lungul secolului al XX-lea, a prevalat, până după Al Doilea Război Mondial, punctul de vedere al lui Maiorescu. Monitorizarea chestiunilor de atitudine civică, de morală, a revenit aproape exclusiv profesorului diriginte, iar profesorul de matematică sau de chimie rareori acorda atenţie greşelilor de gramatică, de logică sau de ortografie. În perioada comunistă, s-a promovat obligativitatea activităţii obşteşti, o deformare grosolană a ceea ce ar fi trebuit să fie o atitudine atentă faţă de problemele din afara specialităţii unui cadru didactic. Cred că acum se impune promovarea viziunii haretiene, în sens larg. Un cadru didactic trebuie să aibă o cultură esenţială în toate direcţiile, să fie în interacţiune cu colegii săi de la alte discipline, să se sesizeze de orice problemă de comportament al elevilor săi.

Polemica dintre Haret şi Delavrancea, privind organizarea liceelor şi claselor reale, pe lângă cele umane (sau clasice) este pilduitoare şi azi, actualitatea ei este totală. Legea din 1864 prevedea numai clase şi licee umane, adică axate pe latină, greacă, istorie, limbă şi literatură. Susţinător al acestei legi, Delavrancea argumenta că numai aceste discipline contribuie la formarea caracterelor şi a gândirii. Haret, recunoscând importanţa acestor discipline (a demonstrat că avea şi o stăpânire deplină a lor), argumenta insuficienţa lor, necesitatea de a le suplimenta cu discipline ştiinţifice şi practice, pentru a stimula dezvoltarea economică, formarea unei clase de mijloc, stimularea meseriilor, industriei şi comerţului; în acest scop, pleda pentru înfiinţarea claselor şi liceelor reale, cu accent pe matematică, ştiinţele naturii, disciplinele practice. A reuşit, prin legea pe care a promovat-o la sfârşitul secolului al XIX-lea, să impună această viziune, de care a beneficiat învăţământul în deceniile următoare. O luptă similară, dar în alte condiţii, fusese dusă în Transilvania de George Bariţiu, care argumenta că ideea naţională fără o bază economică nu are consistenţă. Azi, revine problema şi, dacă vom răsfoi revistele de cultură, vom găsi polemici de tipul celeia dintre Haret şi Delavrancea. Este uneori contestată valoarea formativă a ştiinţelor exacte şi ale naturii. Să observăm însă o deosebire esenţială faţă de situaţia din secolul al XIX-lea: atunci, matematica predată în şcoli era una observaţională şi empirică, nu departe de aceea promovată în vechiul Babilon, deci anterioară lui Thales şi Pitagora; era o matematică fără (sau cu foarte puţine) teoreme. Acum, se predă o matematică ce se reclamă de la vechii Greci, combinată cu formalismele dobândite în secolele din urmă. Drept urmare, această matematică a câştigat în rigoare pe seama intuitivităţii. Educaţia nu prea a reuşit să găsească echilibrul necesar, astfel încât s-a ajuns la un formalism care sărăceşte ştiinţa de latură semantică, istorică şi culturală. Urmarea? Atitudinea de contestare a capacităţilor formative ale disciplinelor ştiinţifice îşi găseşte o anumită legitimitate.

Aşa cum Haret s-a dedicat, la sfârşit de secol XIX, combaterii analfabetismului clasic, în a doua jumătate a secolului trecut, ca urmare a emergenţei paradigmei informaţionale, comunicaţionale şi computaţionale, a apărut problema alfabetizării computaţionale. Era nevoie de un nou Haret şi acesta s-a dovedit a fi Gr. C. Moisil. Dar a murit prea repede şi nici condiţiile sociale şi culturale oferite de regimul totalitar nu i-au permis să desfăşoare o acţiune corespunzătoare. Problema alfabetizării computaţionale este pentru România una dintre cele mai actuale, mai cu seamă acum, în era internetului.

Modul în care Haret a organizat Mecanica socială aduce în centrul atenţiei ideea de echilibru social. Această noţiune nu este departe de ideea de stabilitate, care apare în problema de mecanică cerească de care s-a ocupat Haret în teza sa de doctorat la Sorbona. Amândouă aceste idei au ocupat un loc central, atât în evoluţia ştiinţelor naturii, cât şi în evoluţia ştiinţelor sociale, în secolul trecut, fapt care ne provoacă la o nouă lectură a contribuţiilor sale din mecanica cerească şi din mecanica socială.

Multe alte probleme apar într-o lectură proaspătă a Operelor lui Haret şi sperăm că aceste aşteptări să nu fie înşelate.


Stând pe umerii unor giganţi

De la mulţi am învăţat, cu mulţi m-am simţit pe aceeaşi lungime de undă şi această solidaritate intelectuală cu oameni din generaţii dintre cele mai diferite constituie forţa unei culturi, rezistenţa ei în faţa istoriei, garantează supravieţuirea şi progresul ei. Când deschizi site-ul Google Scholar, te întâmpină sloganul ,,Stand on the Shoulders of Giants". Cu alte cuvinte, suntem invitaţi să conştientizăm cât datorăm acelor oameni pe care-i căutăm pe Google Scholar, deoarece posibilitatea de a ne sui pe umerii lor ne dă şansa de a ajunge mai sus decât au ajuns ei, pentru ca alţii, care vin după noi, să simtă nevoia să se urce pe umerii noştri şi tot aşa, generaţii succesive duc la o scară din ce în ce mai înaltă, precum Coloana Infinită a Maestrului de la Jiu. Faţă de nimeni nu am simţit o afinitate atât de mare ca aceea pe care am trăit-o faţă de Dimitrie Pompeiu, în care m-am regăsit cu tot ceea ce mi se pare esenţial: natura curiozităţilor sale, apetenţa pentru paradox, pentru construcţiile insolite, care scandalizează intuiţia comună, natura sa lirică, reflexivă, contemplativă, dicţiunea sa la interfaţa dintre vorbire şi cântare, întârzierea sa asupra acelor aspecte care te conduc la frontiera dintre realitate şi vis. Ce caută el într-o sală în care venise poetul George Bacovia, să-şi recite nişte versuri? De ce a ţinut el să-i spună poetului că matematica iubeşte poezia? Răspundem: Pentru că matematica, în general, dar cu deosebire aceea făcută de Pompeiu, era ea însăşi poezie, era artă. În toată alcătuirea să mă regăsesc şi dacă l-am considerat un bunic al meu spiritual, m-am justificat prin a-l fi avut profesor direct pe un fiu spiritual al său, Miron Nicolescu şi un alt mentor al meu, Gr. C. Moisil, tot fiu spiritual al lui Pompeiu a fost.

L-am văzut şi l-am auzit

Sunt puţine cazuri în care vorbind despre o personalitate pe care am cunoscut-o, am citit-o, să mă simt atât de implicat sufleteşte ca în cazul lui Dimitrie Pompeiu. Ca student, nu ştiam nimic despre el. Dar s-a întâmplat să-l văd şi să-l aud, fiindcă am făcut studenţia într-o perioadă în care Pompeiu încă mai trăia, bătrân şi foarte obosit, a avut o cădere la vârsta octogenară. Îmi aduc aminte când l-am sărbătorit la Academie; din cele aflate, nu se mai compara cu ce era el cu câţiva ani mai devreme, bărbat care te cucerea din toate punctele de vedere. Ca urmare a căderii înspre vârsta octogenară, se micşorase fizic şi părea obosit. Miron Nicolescu îl conducea de braţ pe culoarele facultăţii. L-am ascultat cu prilejul vizitei unor matematicieni francezi la Bucureşti, printre care şi Arnaud Denjoy; prin cele câteva fraze cu care Pompeiu l-a prezentat se vedea imediat că era altceva decât întâlnim noi de obicei la un matematician. Eleganţa şi fineţea îl caracterizau.

De aceeaşi vârstă, dar foarte diferiţi: Ţiţeica şi Pompeiu

Pompeiu, ca şi Ţiţeica, s-a născut în 1873. Cu ei începe cercetarea matematică românească de cursă lungă, pentru că cei de dinaintea lor, Spiru Haret, David Emmanuel sunt oameni de mare valoare care, după teze de doctorat strălucite la Paris, s-au sacrificat, dedicându-se tuturor acţiunilor sociale care trebuiau demarate în România acelor ani şi ştiţi foarte bine în ce au constat aceste acţiuni, nu mai e cazul să le mai reamintesc. Cu Ţiţeica şi Pompeiu începe în România cercetarea matematică dezvoltată pe parcursul unei întregi vieţi. Dar ei erau atât de diferiţi, parcă erau anume croiţi ca să marcheze cât de mare poate să fie diferenţa umană din toate punctele de vedere.

Am putea spune că Ţiţeica era "furnica", iar Pompeiu era "albina". Ţiţeica era matematicianul care trebuia să sape adânc şi în mod continuu, mereu într-o direcţie bine stabilită, Pompeiu era "albina" sau dacă vreţi "fluturele" care zboară din floare în floare, culege, semnalează, dar nu întârzie într-un loc prea mult, dar clar este că Pompeiu, pe unde a umblat, a făcut spectacol, adică a atras atenţia. Greu de găsit o lucrare a lui Pompeiu care să nu fi intrat în atenţia unui anumit tip de public cultural, ştiinţific, matematic, etc.

Profund moldovean

Am avut mulţi oameni de ştiinţă din nordul Moldovei, dar parcă niciunul nu a fost atât de moldovean ca Dimitrie Pompeiu. Trebuie să vă spun că au rămas de la el şi termeni care au făcut epocă, teoria gloatelor pentru ceea ce noi numim acum "teoria mulţimilor", sau, de pildă, îmi aduc aminte, la o adunare din 1945 la Ateneul Român condusă de el, a încheiat zicând: ordinea de zi fiind sleită, declarăm adunarea închisă. Ţipa Moldova în el. Tot aici ne-am adunat recent pentru a ne aminti de Octav Onicescu. Dar Onicescu nu practica un limbaj care să trădeze aşa uşor originea sa nord-moldavă; însă atunci când spunea oleacă în loc de "puţin", nu mai lăsa nicio îndoială. În general însă, Onicescu vorbea limba română literară, dialectul muntean.

Născut pentru matematică

Pompeiu a pornit foarte sărac, nici prin gând nu i-a trecut lui să facă cercetare. El ştia că este destinat să fie învăţător. A făcut şcoala normală de învăţători. S-a întâmplat însă să aibă norocul, după ce a funcţionat ca învăţător la Ploieşti şi în alte părţi, să beneficieze de un ajutor financiar şi să ajungă la Paris. Abia acolo şi-a făcut liceul şi a dat bacalaureatul, dar, prin ceea ce s-a dovedit a fi fost esenţa personalităţii sale, era un matematician născut şi nu făcut, era un artist născut şi nu făcut şi asta a fost toată viaţa.

Pompeiu, ca român al Parisului

A ajuns la Paris cum au ajuns atâţia români încă de pe la 1848. Din secolul al XIX-lea până spre mijlocul secolului trecut am avut un lung şir de români care au explodat ca personalităţi creatoare la Paris. Încă nu beneficiem de o analiză a acestui fenomen extraordinar. Evident, nu mă refer la toţi, sunt şi unii care au trecut fără urme, dar sunt mulţi care au trecut şi au marcat prin personalitatea lor epoca. Gândiţi-vă de pildă, ca să dau câteva exemple, la unii dintre paşoptişti. Apoi, la Spiru Haret, cu o teză de doctorat care a creat o mare emoţie. Pe urmă gândiţi-vă la istoricul A. D. Xenopol; la 1900 la Paris lansează o teorie a istoriei care venea ca o noutate extraordinară şi a intrat în polemică chiar cu mari matematicieni francezi, dar la noi nu au ajuns aceste lucruri din păcate. Şi după aceea: Pompeiu cu teza sa, Stoilow cu teza sa, iarăşi un moment de ruptură, pentru că teoria topologică a funcţiilor cu care venea Stoilow ca răspuns la o problemă propusă de Brouwer era cu totul împotriva aşteptărilor, o caracterizare topologică a funcţiilor analitice şi aşa mai departe. Fizicianul Alexandru Proca a explodat şi el la Paris. Tot acolo a devenit celebru Tristan Tzara, acolo a explodat şi Xenakis. Pe toţi aceşti români de faimă, Eliade, Cioran, Ionesco, ce-i caracterizează? Pe toţi aceştia, şi o să vedeţi că apare acest element şi la Dimitrie Pompeiu, îi caracterizează faptul că s-au manifestat într-un mod, ca să spun aşa, anti-establishment, împotriva ordinii constituite, a ordinii tradiţionale, fiecare în domeniul său, evident.

O teză de doctorat care a produs senzaţie

În 1905, Pompeiu susţine la Paris o teză de doctorat şi în acelaşi an Ludovic Zoretti susţine şi el o teză de doctorat, în care susţine exact contrariul a ceea ce susţine Pompeiu. Posibilitatea unei clase de funcţii analitice continue pe mulţimea singularităţilor, în timp ce celălalt susţinea că sunt discontinue. Ceea ce susţinea Zoretti era în conformitate cu aşteptările, pentru că intuitiv, o funcţie, pe mulţimea ei de singularităţi, o mulţime perfectă nicăieri densă nu ar avea cum să se manifeste decât discontinuu. Dar Pompeiu gândea mai adânc, pentru că el nu era numai cu ochii pe matematică, era cu ochii şi pe natură şi vedea că ceea ce se întâmplă cu potenţialul newtonian şi logaritmic sugerează mai degrabă continuitate. Nu ştiu dacă Denjoy nu a fost contaminat de ideea lui Pompeiu; atunci când a introdus derivata asimptotică sau aproximativă, cum se numeşte uneori, unii s-au mirat de ce Denjoy dorea să înlocuiască derivata clasică cu alta. Pentru că asta îi spunea structura discontinuă a materiei, cum rezulta ea din viziunea cuantică promovată de Max Planck la 1900.

De la îndoială la certitudine

Teza susţinută de Pompeiu în 1905 a stârnit iniţial îndoieli. Venea un român necunoscut să sfideze opinia curentă. Dar această îndoială a durat numai patru ani, anume, până când rezultatul lui Pompeiu a fost confirmat de Arnaud Denjoy şi pe urmă şi de alţii. A fost o perioadă de câţiva ani de îndoială, de dilemă, ce-o fi cu această teză a unui român. Şi tot aşa a ţinut-o Pompeiu toată viaţa, a făcut spectacol din tot ceea ce i-a trecut prin minte şi din tot ceea ce a publicat. Şi am să trec în revistă câteva situaţii.

O predare de ştafetă

Am scris mult despre Dimitrie Pompeiu. În cartea mea Din gândirea matematică românească, din 1975, vă daţi seama, sunt vreo 40 de ani de atunci, i-am consacrat multe pagini şi acum, în vederea acestei reconsiderări, am recitit ce am scris acolo, am recitit şi ce am spus la Academia Română, când a fost Centenarul naşterii sale şi mai târziu cu alte ocazii şi acum îmi dau seama că trebuie să spun lucruri pe care nu eram în stare să le spun atunci; trebuie să vă spun că unele lucruri le-am înţeles abia recent şi am să încep cu unul dintre ele.

Veţi vedea cât de nerespectuoşi suntem noi faţă de Dimitrie Pompeiu. Când spun "noi" mă gândesc la noi cei care predăm Analiza Matematică, la Universitate şi chiar la liceu la ultimele clase. Pentru mine, Dimitrie Pompeiu aş putea spune, să folosesc metafora asta sportivă: "parcă mi-a servit la fileu mingile pe care le aşteptam", care mă pasionau să le preiau, să le joc în continuare. A fost personalitatea care parcă mă aştepta pe mine să-mi predea ştafeta, evident că aici exagerez peste măsură, dar am avut impresia că parcă eram unul

dintre cei pe care el îi aştepta să le predea ştafeta. Şi într-adevăr, o bună parte din lucrările mele au constituit o preluare de ştafetă de la Dimitrie Pompeiu.

Nu poate lipsi din didactica analizei matematice

Vă dau un exemplu pe care l-am înţeles mai bine abia în ultimele săptămâni şi o să vedeţi de ce. Toţi cei care predau Analiza Matematică ştiu că o problemă esenţială pe care trebuie să o explici studenţilor de anul I, fie la Politehnică, fie la Universitate, fie elevilor din ultima clasă de liceu, este relaţia dintre primitivă şi integrală, dintre derivată şi funcţie integrabilă şi am să vă arat că în această explicaţie nu are voie să lipsească o funcţie pe care o numim de multă vreme derivata lui Pompeiu. Dar spun asta nu pentru că Pompeiu e român, ci pentru că ceea ce am spus acum e valabil pentru oricine predă Analiza Matematică în lume; istoria nu o cunoaşteţi pentru că nu prea a fost relatată, se învaţă la noi anumite fapte, dar istoria lor rămâne necunoscută.

Pornind de la Vito Volterra

În volumul Analiză Matematică al Profesorului Miron Nicolescu, la capitolul despre derivată şi integrală era un exemplu, al lui Volterra, de funcţie derivată mărginită, care nu este integrabilă Riemann pe un anumit interval. Vito Volterra îl găsise pe la 1881. Ulterior, când am luat contact cu opera lui Pompeiu, am constatat că teza sa este o adevărată comoară; acolo este partea cea mai profundă, mai grea a contribuţiilor lui. Acolo există ascunsă o derivată neintegrabilă Riemann, mult mai atrăgătoare, mai interesantă decât aceea din exemplul lui Volterra. La acesta din urma, era vorba de o funcţie care nu e integrabilă Riemann pe un interval [a,b], dar este integrabilă pe anumite subintervale. Prin contrast, la Pompeiu derivata propusă nu este integrabilă pe niciun subinterval, oricât de mic ar fi acesta. Era clar că exemplul lui Pompeiu este mult mai puternic decât cel al lui Volterra.

Caracterizarea topologică a derivatelor

Atâta lume s-a inspirat din aceste derivate ale lui Pompeiu, că pur şi simplu te sperii în câte direcţii s-au dovedit utile. Teza de doctorat a lui Gustave Choquet, o teză care a făcut istorie, în care se prezintă o caracterizare topologică a derivatelor, se prevalează de derivatele lui Pompeiu tocmai în stabilirea caracterizării menţionate: O funcţie reală pe [a, b] este o transformată topologică a unei derivate dacă şi numai dacă are proprietatea lui Darboux şi este de prima clasă Baire. Numai că Choquet se prevalează de derivatele lui Pompeiu, dar fără referire explicită la numele acestuia.

Adevărul este că denumirea de derivată a lui Pompeiu am introdus-o eu într-un articol din Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo şi după aceea a fost preluată de toţi maeştrii domeniului, din a doua jumătate a secolului trecut. Dar exemplul lui Pompeiu figurează şi în marile tratate de la începutul secolului trecut, cum ar fi cele ale lui E. W. Hobson, din 1907, la Cambridge, şi cel al lui J. Pierpont, publicat în 1911, la Londra, însă fără semnalarea semnificaţiei lui în ceea ce priveşte relaţia dintre primitivă şi integrală.

Sursa istorică a exemplului lui Volterra

Mă tot gândeam ce-i cu acel exemplu al lui Volterra, în ce context apăruse. Ştiţi când am căpătat răspunsul? În urmă cu două luni, când am primit de la Mathematical Reviews la recenzie o carte despre viaţa şi opera lui Vito Volterra. Acolo, într-un capitol iniţial, se arată în ce împrejurări a construit Volterra acel exemplu şi o să vedeţi imediat în ce împrejurări a venit Pompeiu cu acel exemplu; era menit să invalideze o "teoremă" care pretindea că furnizează o caracterizare a funcţiilor mărginite, integrabile Riemann.

În secolul al XIX-lea, în toată perioada ulterioară momentului în care Riemann introdusese ideea de integrabilitate care îi poartă numele, a apărut întrebarea firească a condiţiei necesare şi suficiente pentru ca o funcţie reală mărginită pe [a, b] să fie integrabilă Riemann. Darboux o completase cu integralele Darboux superioară şi inferioară, iar integrabilitatea Riemann revenea la egalitatea celor două integrale Darboux. Se ştia că funcţiile continue sunt integrabile, dar se ştia şi că există funcţii discontinue care sunt integrabile şi imediat întrebarea era: cât de discontinuă poate fi o funcţie ca să fie integrabilă Riemann? Şi a avut credit un german, Hermann Hankel, care, prin anii 1860-1870, lansase o pretinsă teoremă, care spunea: pentru ca o funcţie mărginită să fie integrabilă Riemann este necesar şi suficient ca discontinuităţile ei să formeze o mulţime cu complementară densă. Funcţia lui Volterra venea ca un contraexemplu la afirmaţia lui Hankel.

Învăţăm teoreme, fără a afla la ce întrebări s-au constituit ele ca răspuns

Până în momentul în care Pompeiu venise cu ale sale derivate mărginite, neintegrabile Riemann, se acumulase o literatură imensă de funcţii cu derivată în orice punct, care se anulează în orice interval, măcar într-un punct, dar nu sunt identic nule pe niciun subinterval. Pompeiu se referă la ele în mod insistent în toate construcţiile lui. Dar nici Pompeiu nu s-a preocupat de situaţia derivatelor sale în ceea ce priveşte integrabilitatea Riemann.

Morala acestei istorii? Noi învăţăm în general o matematică făcută din rezultate disparate, dar fără a cunoaşte contextul lor istoric. De foarte multe ori, învăţăm teoreme, fără a afla la ce întrebări s-au constituit ele ca răspuns.

Pionier al folosirii integralei Lebesgue

Pompeiu are un merit considerabil, care este recunoscut într-o carte celebră privind istoricul integralei Lebesgue (Thomas Hawkins, Lebesgue's Theory of Integration, Chelsea Publishing Company, 1979). Această carte îl recunoaşte pe Pompeiu drept pionier al folosirii integralei Lebesgue. Aşa a folosit Pompeiu în teză integrala Lebesgue, a folosit-o chiar atunci când ea apăruse. Este un caz extraordinar, a folosit-o esenţial; el putea să spună că integrala Lebesgue a apărut pentru că se ştia că el avea nevoie de ea. Lebesgue schimbase complet modul de a înţelege procesul de integrare. Modul în care Pompeiu a atacat problema singularităţilor este şi el foarte interesant; el şi-a dat seama că ceea ce interesează în primul rând este întinderea lor, măsura lor. A fost unul dintre pionieri, în această privinţă. Aşa s-a născut ulterior un nou capitol al matematicii, teoria măsurii.

Simplitate, economie de mijloace, aparentă lipsă de efort

La Pompeiu, ai impresia că totul se face de o manieră extraordinar de simplă, fără niciun efort. Aceasta atitudine o întâlnim nu numai în matematică şi nu numai în ştiinţă. Este vizibilă şi în sport, la marii jucători. Federer în tenis, chiar dacă acum nu mai este numărul unu, se detaşează de ceilalţi prin aparentă lipsă de efort, prin înlăturarea gesturilor, mişcărilor inutile. Acesta era Pompeiu şi modul în care el îşi ţinea cursurile, ştiu asta din relatările profesorilor mei. Venea cu mănuşi, nu stătea să transpire făcând calcule la tablă, el ştia că un curs oral trebuie să fie în primul rând un curs de idei. Am nişte fragmente din cursul său de ,,Ecuaţii diferenţiale în domeniul complex", dar lucrul acesta era unul extraordinar la el, să înţelegi că adevărata matematică este aceea făcută cu simplitate, cu eleganţă şi cu artă. Era un bijutier.

Sărbătorit, dar puţin cunoscut şi folosit în educaţie

Putem să enumerăm bijuteriile pe care le-a produs şi fiecare din ele a generat un spectacol. Ne reamintim de Pompeiu la cifre rotunde, dar uitaţi-vă şi dvs. la toate cursurile de Analiză. S-au tipărit la noi în ţară peste o sută de cursuri de Analiză pentru anul I. Nu veţi găsi mai mult decât unul sau două în care apare Pompeiu, atunci când e vorba de relaţia dintre derivată şi integrală. Şi deşi am semnalat aceste carenţe încă în cartea mea din 1975, am vorbit la pereţi, pentru că şi acum nu îl vedem pe Pompeiu atunci când trebuie să-l cităm cu ceea ce a făcut el în ştiinţă. Vorbim despre el doar la aniversări.

Risipă de bijuterii

Să observăm şi mersul istoriei: ceea ce la momentul său istoric era cercetare, după un timp a devenit ceva care se predă chiar la ultima clasă de liceu. Trebuia să intre şi Stoilow, şi Miron Nicolescu, în didactica Analizei matematice, dar, înainte de toţi, trebuia să intre Pompeiu şi n-a intrat nici până acum. Pompeiu a fost maestru şi prin modul în care uneori a greşit. În ce sens? În sensul că greşeala lui a fost atât de provocatoare, încât pe urmele ei au mers mulţi matematicieni şi în mod periodic apar articole de sinteză privind contribuţii la problema lui Pompeiu. În ce a constat această problemă? El a fost mereu cu intuiţia cu un pas înainte. El a crezut de pildă, că dacă integrala unei funcţii continue este nulă pe orice disc de rază dată, atunci funcţia aceea trebuie să fie identic nulă. Aici intervine esenţial continuitatea funcţiei. Până la urmă, s-a dat un contraexemplu, dar acest contraexemplu a creat o ambiţie internaţională de a găsi acele tipuri de mulţimi pe care conjectura lui Pompeiu se realizează. Sau de pildă o altă provocare: Pompeiu a avut o adevărată pasiune pentru teorema creşterilor finite. Era clar că teorema creşterilor finite e una dintre acele teoreme la care e foarte greu să formulezi cum ar suna reciproca. Avem n variante posibile. Şi aici a existat o întreagă literatură. Cine a reuşit să pună punctul pe i? Nici nu vă gândiţi! Unul dintre foştii noştri studenţi, o celebritate a olimpiadelor de matematică: Victor Nistor, prin articolul On a problem of Pompeiu din ,,Revue Roum. Math. Pure et Appl." (tome XXVII, no. 10, p. 1053-1058, 1982). Oriunde Pompeiu producea o astfel de bijuterie, imediat se producea o aglomeraţie de autori care căutau să profite de acea nouă bijuterie, de parcă era un stup de albine.

A rezolva probleme sau a construi teorii?

Problema coeficientului de contracţie. Pompeiu a avut o notă, el era în general autorul textelor scurte, cum se spune şi în literatură: proza scurtă, nu avea timp de vorbă multă. A constatat că la polinoamele de gradul al treilea acel θ intermediar din teorema creşterilor finite poate fi întotdeauna ales să fie mai mic decât 1/sqr(3). Noi spunem, în general, că punctul intermediar din teorema creşterilor finite există, dar nu ştim unde e situat. Totuşi, în unele situaţii putem spune că nu e total necunoscut. Iarăşi au apărut după el o mulţime de autori. Să nu mai vorbesc de derivata areolară din domeniul complex, care iarăşi a generat o cohortă de autori care s-au ţinut după Pompeiu. Din anumite puncte de vedere, Paul Erdös a manifestat o atitudine similară faţă de matematică. Ca şi la Pompeiu, foarte rar găseşti la matematicianul maghiar ambiţia de a introduce noţiuni noi, de a face teorii. Nu! El lucrează cu materialul existent, adică totdeauna îţi dai seama că îşi pune întrebări foarte naturale. Cum de nimeni nu s-a întrebat înainte de el asupra acelui lucru? În cartea mea din '75 am foarte multe exemple de mare fineţe, din care se vede că derivatele lui Pompeiu au iradiat în toate direcţiile. Imediat ce deschizi topologia lui Kuratowski, vezi cele mai năstruşnice exemple de spaţii topologice mai speciale, construite cu ajutorul derivatelor lui Pompeiu.

Distanţa Pompeiu-Hausdorff

Felix Hausdorff în Grundzüge der Mengenlehre: acorda un loc de cinste lui Dimitrie Pompeiu. Ar fi fost necesar un articol în revista Historia Mathematica, în care să se pună lucrurile la punct, adică Hausdorff îl citează pe Pompeiu foarte corect, dar în acelaşi timp introduce o modificare în expresia distanţei lui Pompeiu între mulţimi închise. Cartea lui Hausdorff a avut desigur o circulaţie mult mai mare decât teza lui Pompeiu şi cei mai mulţi autori au numit-o distanţa lui Hausdorff. Dar, Hausdorff îl citează pe Pompeiu, Kuratowski, de asemenea, şi ar fi fost normal să apară un articol în Historia Mathematica în care să se facă aceste precizări de istorie. Pentru că e adevărat că acum mai sunt autori care folosesc distanţa Hausdorff-Pompeiu, dar cei mai mulţi o numesc distanţa Hausdorff. În această privinţă pot să vă dau două exemple de succes românesc: un exemplu este cel al articolului meu în colaborare cu Cristian Calude şi Ionel Ţevy în Historia Mathematica, în urma căruia numele lui Gabriel Sudan este pus întotdeauna alături de cel al lui Ackermann, când e vorba de funcţii recursive care nu sunt primitiv recursive. Al doilea exemplu este legat de Barbilian, de spaţiile Barbilian care uneori nu au fost identificate ca atare, articol publicat de Bogdan Suceavă în Historia Mathematica. Ar fi necesar un articol similar în legătură cu distanţa Pompeiu-Hausdorff. Mi se pare foarte curios, cel puţin eu nu am găsit niciun gând al lui Barbilian despre Dimitrie Pompeiu. El a scris foarte frumos despre Ţiţeica pentru că i-a fost asistent şi pentru că a mers pe domeniul geometriei, dar nu pot înţelege cum de nu a fost marcat Barbilian de personalitatea lui Dimitrie Pompeiu.

Alte exemple, ca să vedeţi în câte direcţii bat ideile lui Pompeiu. Aţi auzit de ecuaţiile diferenţiale Lavrentiev. Sunt ecuaţii de forma: dy/dx = f (x, y), cu f(x, y) continuă. În condiţii de continuitate, se ştie că este asigurată existenţa soluţiilor, dar nu şi unicitatea lor. Şi nu era clar cât de mult se pot abate soluţiile de la unicitate.

Derivate Pompeiu şi ecuaţii Lavrentiev

Şi a venit exemplul lui Lavrentiev, în care e posibil, dacă funcţia e continuă, dar ne-diferenţiabilă, ca prin fiecare punct să treacă o infinitate de integrale. Ei bine, Froda, care a fost şi el unul dintre cei care au căzut în patimă după Pompeiu, a demonstrat că cu derivatele lui Pompeiu se pot construi ecuaţii Lavrentiev, adică ecuaţii în care prin fiecare punct trec o infinitate de soluţii.

Nu-mi mai rămâne decât să vă spun că, dacă îl vizitaţi azi pe Pompeiu pe Google Scholar, comparându-l cu cei din generaţia lui, veţi constata că a fost cel mai rezistent.

Fire de artist

Să nu pierdem din vedere personalitatea artistică a lui Dimitrie Pompeiu. Am evocat în cartea mea o întâlnire despre care am aflat din cartea Agathei Bacovia, soţia poetului George Bacovia. O întâlnire între Pompeiu şi Bacovia, o întâlnire extraordinară. Pompeiu a venit ca un umil ascultător în ultima bancă, la o şezătoare literară la care personajul principal era Bacovia. Şi la sfârşit Pompeiu s-a apropiat de poetul Bacovia şi i-a spus: Sunt matematician, dar mă declar că sunt pasionat de poezia dumneavoastră şi vă iubim foarte mult, şi Bacovia a răspuns: Îmi pare rău că nu pot să vă răspund prin reciprocitate. Dar în toate felurile s-a putut vedea că Dimitrie Pompeiu era o fire de artist. Din păcate, matematica pe care noi o predăm în şcoli şi universităţi e foarte departe de stilul lui Pompeiu.

Între idei şi calcule

Nu spun că trebuie adoptat obligatoriu stilul lui Pompeiu, dar poate că era bine să fi existat un echilibru între stilul Pompeiu şi stilul Ţiţeica. Stilul care dă atenţie în primul rând ideilor şi cel care pune accentul pe tehnica de calcul. Dar, de fapt, şi Ţiteica şi Pompeiu le ştiau bine pe amândouă. Tehnicile legate de derivatele lui Pompeiu sunt foarte complicate, sunt de mare fineţe, dar la noi a prevalat matematica ce se face cu cât mai puţine cuvinte şi care este cu totul diferită de stilul lui Pompeiu. Cred că era bine să realizăm un echilibru între cele două stiluri, să demonstrăm şi capacităţile tehnice ale matematicii, dar şi capacităţile ei ideatice şi culturale. Din păcate, matematica pe care noi o cultivăm şi în predare şi în cercetare, de prea multe ori ascunde ideile, dacă ele există, şi uneori stai şi te întrebi dacă ele există.

Impact semnificativ

Pompeiu, prin tot ce a produs, a avut un impact semnificativ. Aproape la fiecare bijuterie pe care a produs-o, a avut ecouri imediate. Puţini matematicieni români au avut această şansă, dar poate nu este vorba de şansă, ci de capacitatea lui de a atrage atenţia. Adică a venit cu lucruri aparent simple şi care au provocat curiozitatea.

Dacă privesc la generaţia profesorilor mei, generaţia celor care i-au avut ca profesori pe Pompeiu şi pe Ţiţeica, ce constat? Că matematicieni atât de diferiţi între ei, ca Onicescu, Moisil, Miron Nicolescu, Nicolae Teodorescu, etc., când e vorba să răspundă la întrebarea: "Din cine te tragi?", primul nume pe care îl pronunţă este "Pompeiu". Am verificat personal acest lucru, pentru că vă informez, dacă nu ştiaţi, că am luat interviuri şi lui Onicescu şi lui Teodorescu, de Miron Nicolescu să nu mai vorbesc, unele au fost publicate în revista Manuscriptum.

Mulţi l-au simţit ca mentor

Când îi întrebai: "Cine îţi sunt mentorii?", primul cuvânt era "Pompeiu". Deci din acest punct de vedere să nu se supere Ţiţeica, Pompeiu l-a depăşit ca impact uman. Ţiţeica a fost mult citat în literatură, dar mă refer aici la impactul uman direct. Pompeiu a fost neîntrecut în această privinţă. Şi pot să înţeleg acest lucru, când văd cât de mult m-a marcat pe mine, care n-am beneficiat de un contact personal cu Pompeiu, dar numai din ce am citit despre el şi ce mi s-a relatat am căzut într-o patimă din care nu mai pot să ies.

Pompeiu era, şi prin prezenţa lui fizică, un om de care te îndrăgosteai imediat. Adică era tot ce se putea imagina împotriva rutinei şi împotriva plictiselii. Şi gândiţi-vă că, dacă nu găsea acest învăţător sprijinul material care în momentul util să-i dea posibilitatea să evadeze în lume, putea să rămână un ilustru necunoscut. Unicitatea lui Pompeiu în cultura românească este dată de capacitatea lui de a veni cu ceva care sfidează mentalitatea dominantă.

Românii din Paris merită o monografie

Ar trebui să existe o monografie a românilor la Paris. Toţi cei pe care i-am înşirat au mers pe urmele Parisului, s-au îmbibat de cultură franceză, evident că mai toţi au preluat ştafeta în mare măsură de la matematicieni francezi. Matematica franceză şi cea germană reprezentau matematica dominantă a epocii. Dar după ce am citit cartea despre Volterra mi-am dat seama că şi matematica italiană a ţinut pasul destul de bine cu cea franceză şi cea germană, chiar dacă nu a fost la nivelul lor, dar a fost imediat după ele. În această monografie despre Volterra nu am găsit nicio referinţă la relaţiile lui Volterra cu românii, în timp ce într-o monografie mai veche, pe care am găsit-o în limba rusă, despre Volterra, erau foarte multe referinţe la toţi cei care au avut legături cu acesta. Pentru marii matematicieni români de la începutul secolului al XIX-lea, Volterra a fost o referinţă esenţială, a jucat un rol împreună cu Levi-Civita, pentru Onicescu, pentru Vrănceanu, pentru Moisil, Nicolescu, Lalescu, etc. Toţi aceştia nu aveau încotro, trebuiau să pornească, să înveţe ce au făcut cei mai avansaţi, dar nu s-au mulţumit doar să înveţe ce au făcut alţii, au ştiut să adauge lucruri din capul lor care să marcheze, care să spună: uite, au şi românii un cuvânt de spus în matematică. Şi în alte domenii, am dat, cum am remarcat mai sus, pe Xenopol, Tzara, Eliade, care, ca şi Pompeiu, au explodat la Paris.

Universalitatea matematicii

Acum am să închei cu următorul exemplu, ca să vedeţi ce capacitate are matematica de a coagula idei venite din toate orizonturile. Am venit azi de la Iaşi. La sfârşitul acestei luni, pe 28 octombrie, merg din nou la Iaşi. De ce? Pentru că pe 29 octombrie la Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" din Iaşi va fi făcut Doctor Honoris Causa un laureat Nobel în ştiinţe economice, Kenneth J. Arrow, cu mama născută la Podu Iloaiei şi tatăl născut la Iaşi, iar teorema de imposibilitate a lui Kenneth Arrow, care este o teoremă de matematică în toată puterea cuvântului, a avut un impact esenţial în cvasitotalitatea domeniilor cunoaşterii: matematică, informatică, ştiinţe economice, ştiinţe sociale, biologie, psihologie, filozofie, şi voi prezenta un raport în această privinţă despre impactul teoremei lui Arrow în cultura românească. Deci iată ce poate să facă matematica.

Matematica are această forţă potenţială pe care trebuie să o actualizăm.