Marea teoremă a lui Fermat

Citiţi o cronică a acestei cărţi.

Simon Singh a studiat fizica la Imperial College şi a obţinut titlul de doctor în fizica particulelor elementare la Universitatea Cambridge. După ce a lucrat timp de cinci ani la serialul de televiziune Tomorrow's World de la BBC, în 1996, în cadrul serialului Horizon, a regizat şi a fost coproducătorul unui film despre Marea Teoremă a lui Fermat, film premiat de criticii englezi.



23 iunie 1993, Cambridge
Era cea mai importantă prelegere matematică a secolului. Două sute de matematicieni erau încremeniţi de emoţie. Doar un sfert dintre ei înţelegeau profunda şi complexa combinaţie de simboluri greceşti şi algebră de pe tablă. Restul se aflau acolo doar pentru a fi martorii a ceea ce sperau să fie o ocazie într-adevăr istorică.

Zvonurile se declanşaseră cu o zi în urmă. Poşta electronică prin Internet menţionase în comunicatul emis că această prelegere va culmina cu o soluţie a Marii Teoreme a lui Fermat, cea mai celebră problemă matematică a lumii. Zvonul acesta nu era ceva neobişnuit. Se vorbea despre Marea Teoremă a lui Fermat pe la ceaiuri, iar matematicienii făceau speculaţii în legătură cu preocupările unuia sau ale altuia. Uneori, şoapte nedesluşite din sălile în care se întâlneau profesorii orientau speculaţiile către eventualitatea găsirii unei soluţii, dar nimic nu se concretizase.

De data aceasta zvonul era complet diferit. Un student din ciclul superior de la Cambridge era atât de convins că zvonul era adevărat, încât s-a grăbit să parieze 10 lire că Marea Teoremă a lui Fermat va fi rezolvată în mai puţin de o săptămână. Totuşi, agentul de pariuri şi-a dat seama că ceva nu e în ordine, şi i-a refuzat pariul. Acesta era al cincilea student într-o singură zi care îl abordase cerându-i să plaseze exact aceeaşi sumă. Marea Teoremă a lui Fermat sfidase cele mai remarcabile minţi de pe planetă în ultimele trei secole, dar acum chiar şi agenţii de pariuri începeau să creadă că e pe cale de a fi demonstrată.

Cele trei table erau acum acoperite de calcule, iar conferenţiarul făcu o pauză. Prima tablă fu ştearsă şi algebra îşi urmă cursul. Fiecare rând de formule matematice părea să fie un nou pas spre aflarea soluţiei, dar, după 30 de minute, vorbitorul nu oferise încă demonstraţia. Profesorii înghesuiţi în primele rânduri aşteptau cu nerăbdare concluzia. Studenţii aşezaţi în spate îşi priveau profesorii, căutând indicii care i-ar putea conduce spre o eventuală concluzie. Asistau oare la o demonstraţie completă a Marii Teoreme a lui Fermat, sau ascultau un conferenţiar care expunea o teorie incompletă premergătoare demonstrării ei?

Vorbitorul era Andrew Wiles, un englez sobru care emigrase în America în anii '80 şi fusese angajat ca profesor la Universitatea Princeton, unde a dobândit reputaţia unuia dintre cei mai talentaţi matematicieni ai generaţiei sale. Totuşi, în ultimii ani, nu mai participase la conferinţele şi seminariile anuale, iar colegii s-au grăbit să presupună că Wiles era terminat. Adeseori, geniile precoce se mistuie în propria lor flacără, aşa cum sugerează şi matematicianul Alfred Adler: "Viaţa matematică a unui matematician e scurtă. Rareori îşi poate îmbunătăţi performanţele după 25-30 de ani. Dacă până atunci nu a obţinut decât rezultate modeste, după acea vârstă va reuşi şi mai puţin."

"Tinerii ar trebui să demonstreze teoreme, iar vârstnicii să scrie cărţi", a observat G. H. Hardy în cartea sa Apologia unui matematician. "Nici un matematician n-ar trebui să piardă vreodată din vedere că matematica, mai mult decât oricare artă sau ştiinţă, este privilegiul tinerilor. Pentru a da o simplă ilustrare, vârsta medie de alegere în Societatea Regală este cea mai scăzută la matematică." Studentul său eminent - Srinivasa Ramanujan - a fost ales membru al Societăţii Regale la doar 31 de ani, după o serie de realizări extraordinare până la acea vârstă. În ciuda faptului că nu a fost decât puţină vreme educat în satul său natal din Kumbakonam, din sudul Indiei, Ramanujan a fost capabil să conceapă teoreme şi soluţii care scăpaseră matematicienilor occidentali. În matematică, experienţa acumulată cu vârsta pare mai puţin importantă decât intuiţia şi îndrăzneala tinereţii. Când şi-a expediat rezultatele lui Hardy, profesorul de la Cambridge a fost atât de impresionat, încât l-a invitat să-şi părăsească slujba de umil funcţionar în India meridională pentru a lucra la Trinity College, unde ar fi putut colabora cu cei mai faimoşi specialişti din lume în teoria numerelor. Din nefericire, iernile din estul Angliei au fost nemiloase cu Ramanujan, care a făcut tuberculoză şi a murit la numai 33 de ani.

Şi alţi matematicieni avuseseră cariere la fel de strălucitoare, dar încheiate fulgerător. Norvegianul Niels Henrik Abel, care a trăit în secolul al XIX-lea, şi-a adus cea mai însemnată contribuţie în domeniul matematicii la 19 ani şi a murit sărac, opt ani mai târziu, tot de tuberculoză. Charles Hermite a spus despre el: "Le-a oferit matematicienilor subiecte de gândire pentru cinci sute de ani", şi e adevărat că descoperirile lui Abel continuă să exercite şi astăzi o influenţă colosală asupra specialiştilor în teoria numerelor. Contemporanul la fel de dotat al lui Abel, Evariste Galois, a făcut descoperiri fantastice tot în adolescenţă, şi a murit la vârsta de 21 de ani.

Aceste exemple nu sunt menite să demonstreze că matematicienii mor tineri şi au un sfârşit tragic, ci, mai degrabă, că ideile lor cele mai profunde sunt concepute, în general, în tinereţe şi că, aşa cum a spus odată Hardy, "n-am auzit de nici o idee excepţională în matematică iniţiată de un om trecut de 50 de ani". Matematicienii între două vârste îngroaşă, adeseori, rândurile anonimilor şi îşi petrec anii ce le rămân predând sau ocupându-se mai curând cu administraţia decât cu cercetarea. În cazul lui Andrew Wiles, toate acestea erau foarte departe de adevăr. Deşi ajunsese la "impresionanta" vârstă de 40 de ani, îşi petrecuse ultimii 7 ani în izolare completă, încercând să rezolve cea mai importantă problemă din matematică. În timp ce alţii îl credeau epuizat, Wiles făcea progrese uimitoare, inventa noi tehnici şi instrumente pe care era acum gata să le dezvăluie. Decizia lui de a lucra absolut singur a fost o strategie foarte riscantă, prima de acest gen în lumea matematică de astăzi.

Cum nu are invenţii de patentat, departamentul de matematică al fiecărei universităţi e cel mai deschis dintre toate. Comunitatea respectivă e mândră de schimbul liber de idei, iar pauzele de ceai devin ritualuri cotidiene, în cursul cărora concepte însemnate sunt împărtăşite şi analizate, în vreme ce se savurează biscuiţi şi arome speciale de ceai. În consecinţă, e din ce în ce mai răspândită practica publicării lucrărilor de către coautori sau echipe de matematicieni, iar gloria e împărţită echitabil. Totuşi, dacă profesorul Wiles fusese într-adevăr capabil să descopere o demonstraţie completă şi corectă a Marii Teoreme a lui Fermat, atunci el avea să obţină cel mai râvnit premiu în matematică - el şi numai el; nimeni altcineva. Preţul pe care fusese nevoit să-l plătească pentru izolarea lui a constat în faptul că nu-şi comentase şi nu-şi testase ideile sale în interiorul comunităţii matematice şi exista deci un risc major ca el să fi comis o greşeală fundamentală.

Wiles şi-ar fi dorit să petreacă mai mult timp recitindu-şi lucrarea pentru a verifica integral forma finală a manuscrisului. Atunci se ivi însă ocazia de a-şi face publică descoperirea la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge şi el renunţă la prudenţă. Scopul suprem al existenţei institutului este de a reuni cele mai mari minţi ale lumii, pentru câteva săptămâni, cu scopul de a ţine seminarii despre o temă de cercetare de importanţă majoră, la alegerea lor. Clădirea, situată spre ieşirea din campus, departe de studenţi sau alte surse de distragere a atenţiei, este proiectată special pentru a facilita concentrarea savanţilor asupra colaborării şi confruntării ideilor. Nu există coridoare fără ieşire în care să te poţi ascunde şi fiecare birou se deschide spre un forum central. Matematicienii trebuie să-şi petreacă timpul în acest spaţiu deschis şi sunt descurajaţi să-şi ţină închise uşile de la birouri. Colaborarea ştiinţifică este stimulată şi în timpul deplasării prin institut - până şi în ascensorul care traversează doar trei etaje există o tablă. De fapt, fiecare cameră din clădire are cel puţin o tablă, inclusiv camerele de baie. De această dată, seminariile de la Institutul Newton aveau ca temă "Funcţiile L şi Aritmetica". Toate somităţile mondiale ale teoriei numerelor se reuniseră să discute probleme legate de această arie de înaltă specializare a matematicii pure, dar numai Wiles îşi dăduse seama că funcţiile L ar putea ascunde cheia unei demonstraţii a Marii Teoreme a lui Fermat.

Deşi fusese atras de ocazia de a-şi prezenta rezultatele în faţa unui public atât de select, motivul esenţial pentru care a făcut acest anunţ la Institutul Newton era că se afla în oraşul său natal, Cambridge. Acolo se născuse Wiles, acolo crescuse şi dobândise pasiunea pentru cifre, acolo descoperise problema ce avea să-i domine tot restul vieţii.



În 1963, la doar 10 ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. "Îmi plăcea să rezolv probleme la şcoală, obişnuiam să le iau acasă şi să inventez altele proprii. Dar cea mai captivantă problemă pe care am găsit-o vreodată, am descoperit-o în biblioteca localităţii mele."

Într-o zi, întorcându-se acasă de la şcoală, tânărul Wiles s-a hotărât să calce pragul bibliotecii din strada Milton. Era mai săracă în cărţi decât bibliotecile colegiilor, dar avea o bogată colecţie de divertismente matematice, iar aceasta îl captiva pe Andrew. În paginile unor asemenea cărţi se aflau tot felul de rebusuri ştiinţifice şi enigme matematice, fiecare dintre ele cu soluţia plasată undeva la sfârşitul cărţii. Dar, de această dată, Andrew era interesat de o carte cu o singură problemă şi fără nici o soluţie.

Cartea era Ultima Problemă, de Eric Temple Bell, povestea unei probleme de matematică ce îşi avea sorgintea în Grecia antică, dar care şi-a atins deplina maturitate doar în secolul al XVII-lea. Atunci ea a fost neglijent formulată de marele matematician francez Pierre de Fermat, ca o involuntară provocare pentru restul lumii. Toţi matematicienii importanţi au fost umiliţi de moştenirea lăsată de Fermat şi, vreme de trei sute de ani, nimeni nu i-a găsit dezlegarea. Sunt şi alte întrebări fără răspuns în matematică, dar problema lui Fermat se distinge în mod deosebit prin simplitatea ei înşelătoare. La 30 de ani după prima lectură a relatării lui Bell, Wiles mi-a spus cum s-a simţit în clipa când a descoperit Marea Teoremă a lui Fermat. "Părea atât de simplă şi totuşi, toţi marii matematicieni ai istoriei au fost incapabili s-o rezolve. Aceasta era o problemă pe care eu, la zece ani, puteam s-o înţeleg şi, din acea clipă, am înţeles că n-o voi abandona niciodată. Trebuia s-o rezolv."

Problema pare atât de simplă pentru că se bazează pe un adevăr matematic ştiut de toată lumea - teorema lui Pitagora:


Ca urmare a formulării clare şi concise a lui Pitagora, teorema a fost memorată şi reţinută o viaţă întreagă de milioane, dacă nu miliarde de minţi omeneşti. Este teorema fundamentală pe care orice şcolar este obligat s-o înveţe. Dar, în ciuda faptului că poate fi înţeleasă de un puşti de zece ani, creaţia lui Pitagora a fost sursa de inspiraţie pentru o problemă care a biruit cele mai mari minţi matematice ale tuturor timpurilor.

Pitagora din Samos a fost una dintre figurile cele mai influente şi mai misterioase ale matematicii. Cum nu există relatări directe despre viaţa şi activitatea sa, el rămâne învăluit în mit şi legendă, istoricilor fiindu-le greu să separe realitatea de ficţiune. Pare însă neîndoielnic că Pitagora a dezvoltat ideea logicii numerice şi a iniţiat prima vârstă de aur a matematicii. Mulţumită geniului său, numerele n-au mai fost folosite doar pentru calcule şi numărători, ci au fost apreciate ca entităţi în sine. El a studiat proprietăţile unor numere particulare, relaţiile dintre ele şi configuraţiile create de ele. A înţeles că numerele există independent de lumea tangibilă şi că, în consecinţă, studiul lor nu era afectat de erorile de percepţie. Asta însemna că putea să descopere adevăruri independente de păreri sau prejudecăţi şi care erau mai sigure decât orice cunoştinţe anterioare.

Trăind în secolul al VI-lea înainte de Cristos, Pitagora şi-a dobândit iscusinţa în matematică în timpul călătoriilor sale prin lumea antică. Unele legende vor să ne convingă că Pitagora a călătorit până în India şi Marea Britanie, dar mai sigur pare faptul că şi-a însuşit multe tehnici matematice de la egipteni şi babilonieni. Aceste două popoare ale lumii antice depăşiseră de mult frontierele simplelor socoteli şi erau capabile să efectueze calcule complicate, ceea ce a făcut posibilă crearea unor sisteme contabile sofisticate şi construirea unor edificii impunătoare. Ei vedeau în matematică un simplu instrument pentru rezolvarea problemelor practice; motivaţia descoperirii unor reguli fundamentale ale geometriei era facilitatea reconstituirii hotarelor funciare care se pierdeau în fiecare an după revărsarea Nilului. Însuşi cuvântul "geometrie" însemna măsurarea pământului.

Pitagora a observat că egiptenii şi babilonienii îşi concepeau calculele sub forma unor reţete care erau urmate orbeşte. Ele erau transmise din generaţie în generaţie, oferind totdeauna răspunsul corect, şi astfel nimeni nu se mai obosea să pună întrebări sau să exploreze logica ecuaţiilor respective. Din punctul lor de vedere, important era faptul că un anumit calcul funcţiona - dar de ce funcţiona el era irelevant.

După 20 de ani de călătorii, Pitagora învăţase toate regulile matematice ale lumii cunoscute. El a pornit pe mare înapoi spre patria sa, insula Samos din Marea Egee, cu intenţia de a pune bazele unei şcoli dedicate studiului filozofiei şi în special cercetării regulilor matematice pe care şi le însuşise până atunci. Dorea să înţeleagă numerele, nu doar să le folosească. Spera să găsească destui studenţi cu sufletul şi mintea deschise spre noi sisteme filozofice ce vor revoluţiona lumea, dar în timpul anilor săi de absenţă, tiranul Polycrat transformase odinioară liberala insulă Samos într-o societate intolerantă şi conservatoare. Polycrat l-a invitat pe Pitagora la curtea sa, dar filozoful a înţeles că aceasta era doar o manevră menită să-l reducă la tăcere şi, în consecinţă, a refuzat onoarea ce i se făcea. Ba mai mult, a părăsit oraşul şi s-a mutat într-o peşteră dintr-un colţ îndepărtat al insulei, unde putea medita fără teama de a fi persecutat.

Lui Pitagora nu-i surâdea izolarea şi, în cele din urmă, a recurs la mituirea unui băieţel pentru a deveni primul lui elev. Identitatea acestuia nu e cunoscută, dar unii istorici au sugerat că elevul se numea tot Pitagora şi că avea să devină vestit mai târziu ca prima persoană care le-a recomandat atleţilor să mănânce carne spre a-şi îmbunătăţi condiţia fizică. Pitagora, profesorul, îşi plătea elevul cu trei oboli pentru fiecare lecţie pe care i-o preda, şi a observat că, pe măsură ce treceau săptămânile, reţinerea iniţială a băiatului în ce priveşte învăţătura se transforma într-o sete nestăpânită de cunoaştere. Pentru a-şi testa elevul, Pitagora a spus că nu-şi mai poate permite să-l plătească, deci renunţă la lecţii, moment în care băiatul i-a oferit el bani pentru a fi instruit, în loc să renunţe la instruire. Şcolarul a devenit un discipol. Din păcate, aceasta a fost singura convertire izbutită de Pitagora pe insula Samos. O vreme, a condus o şcoală cunoscută sub numele de Semicercul lui Pitagora, dar concepţiile sale despre reforma socială nu puteau fi acceptate, iar filozoful a fost obligat să emigreze din colonie, împreună cu mama şi unicul său discipol.

Pitagora se îndreptă spre ţărmurile de sud ale Italiei, pe atunci o parte din aşa-numita Grecie Mare şi se stabili la Crotona, unde avu norocul să-şi găsească un mecena ideal în persoana lui Milon, cel mai bogat locuitor din Crotona şi unul dintre cei mai puternici bărbaţi cunoscuţi în istorie. Deşi faima lui Pitagora ca înţelept din Samos făcuse deja înconjurul Greciei - a lui Milon era încă şi mai mare. Milon era un bărbat de o forţă herculeană, ce atinsese recordul de a câştiga 12 ediţii ale Jocurilor Olimpice şi Pythice. În afară de performanţele sale atletice, Milon mai preţuia şi studia filozofia şi matematica. El renunţă la o parte din casa sa şi îi oferi lui Pitagora un spaţiu suficient pentru a pune bazele unei şcoli. În felul acesta, mintea cea mai creatoare şi trupul cel mai puternic ajunseseră la o alianţă.

Simţindu-se în siguranţă în noul său cămin, Pitagora fondă o sectă numită Frăţia lui Pitagora - compusă din şase sute de discipoli care erau în stare nu numai să-i înţeleagă învăţăturile, ci şi să i le îmbunătăţească, aducând noi idei şi demonstraţii. Intrând în Frăţie, orice nou adept era obligat să-şi încredinţeze toate averile lumeşti unui fond comun şi, în cazul în care cineva părăsea organizaţia, acesta primea de două ori suma depusă iniţial, iar o piatră funerară era ridicată în memoria sa. Frăţia se baza pe principii egalitariste şi includea şi câteva surori. Eleva favorită a lui Pitagora era chiar fiica lui Milon, frumoasa Theano, şi, în ciuda diferenţei de vârstă, cei doi sfârşiră prin a se căsători.

La scurt timp după întemeierea acestei şcoli, Pitagora creă cuvântul "filozof" şi defini astfel ţelurile sectei sale. Când s-au întâlnit cu ocazia Jocurilor Olimpice, Leon, prinţul din Phlius, l-a întrebat pe Pitagora cum s-ar descrie pe sine însuşi. Pitagora i-a răspuns: Sunt un filozof, dar Leon nu mai auzise acest cuvânt şi l-a rugat să i-l explice:
Deşi mulţi erau la curent cu aspiraţiile lui Pitagora, nimeni din afara sectei nu cunoştea amănuntele sau amploarea pe care o lua succesul său. Fiecare discipol era legat prin jurământ să nu dezvăluie lumii nici una dintre descoperirile lor. Chiar şi după moartea lui Pitagora, unul din cei pe care îi instruise a fost înecat pentru că şi-a călcat jurământul - a făcut publică descoperirea unui nou corp geometric regulat, dodecaedrul, construit din douăsprezece pentagoane regulate. Predilecţia şcolii pitagoreice pentru secrete este una din cauzele dezvoltării miturilor care vorbesc despre unele ritualuri sacre pe care le-ar fi practicat discipolii, şi tot de aceea există atât de puţine date certe despre realizările lor matematice.

Ceea ce se ştie cu siguranţă este că Pitagora a instaurat un nou spirit care a schimbat cursul matematicii. Secta era, de fapt, o comunitate religioasă şi unul dintre idolii pe care îi venera ea era Numărul. Înţelegând relaţiile dintre numere, adepţii ei credeau că pot descoperi misterele spirituale ale universului şi că pot să se apropie de zei. De fapt, secta şi-a concentrat atenţia asupra studiului numerelor naturale (1, 2, 3,...) şi al fracţiilor. Numerele naturale sunt numite uneori numere întregi pozitive şi, împreună cu fracţiile (raporturi între numere întregi), ele poartă denumirea tehnică de numere raţionale. În cadrul infinităţii de numere, secta le căuta pe cele cu semnificaţie specială, iar câteva dintre cele mai deosebite erau aşa-numitele numere "perfecte".

Conform lui Pitagora, perfecţiunea numerelor depinde de divizorii acestora (numerele la care se împarte exact numărul iniţial). Spre exemplu, divizorii numărului 12 sunt 1, 2, 3, 4 şi 6. Un număr a cărui sumă de divizori este mai mare decât numărul însuşi, se numeşte număr "excesiv". Prin urmare, 12 este excesiv fiindcă suma divizorilor săi este 16. Pe de altă parte, dacă suma divizorilor este mai mică decât numărul însuşi, numărul se numeşte "defectiv". 10 este un număr defectiv, pentru că suma divizorilor săi (1, 2 şi 5) nu este decât 8.

Cele mai semnificative şi mai rare numere sunt cele ai căror divizori adunaţi dau ca rezultat numărul însuşi; acestea se numesc numere perfecte. 6 are ca divizori pe 1, 2 şi 3 şi, drept urmare, este un număr perfect, căci 1+2+3=6. Următorul număr perfect este 28, pentru că 1+2+4+7+14=28.

Pe lângă semnificaţia matematică specială atribuită acestor numere de secta lui Pitagora, perfecţiunea numerelor 6 şi 28 a fost remarcată şi de alte civilizaţii care au observat că Luna efectuează o rotaţie completă în jurul Pământului la fiecare 28 de zile şi care susţineau că Dumnezeu a creat lumea în şase zile. În Cetatea lui Dumnezeu, Sfântul Augustin spune că, deşi Dumnezeu ar fi putut crea lumea într-o singură clipă, el s-a decis să zăbovească şase zile la această lucrare, pentru a reflecta perfecţiunea universului. Sfântul Augustin a remarcat că numărul 6 nu era perfect pentru că îl alesese Dumnezeu, ci mai degrabă perfecţiunea era inerentă naturii sale. "6 este numărul perfect prin sine însuşi şi nu pentru că Dumnezeu a creat lumea în şase zile; contrariul e mai degrabă adevărat; Dumnezeu a creat lumea în şase zile pentru că acest număr întruchipează perfecţiunea. Şi lucrurile ar sta la fel chiar dacă opera celor şase zile nu ar fi existat."

Pe măsură ce înaintăm în şirul numerelor naturale, numerele perfecte devin mai greu de găsit. Al treilea număr perfect este 496, al patrulea 8.128, al cincilea 33.550.336, iar al şaselea 8.589.869.056. În afară de faptul că reprezintă suma divizorilor lor, Pitagora a observat că toate numerele perfecte au şi o altă serie de proprietăţi speciale. Spre exemplu, ele reprezintă mereu suma unor serii de numere naturale consecutive. Astfel, avem:

6 = 1+2+3,
28 = 1+2+3+4+5+6+7,
496 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+30+31,
8128 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+126+127.

Pitagora era amuzat de numerele perfecte, dar el nu se mulţumea doar să le colecţioneze, ci şi-a propus să le descopere semnificaţia ascunsă. Una dintre intuiţiile sale de geniu a fost că perfecţiunea se înrudeşte îndeaproape cu principiul "diadei". Numerele 4 (2 x 2), 8 (2 x 2 x 2), 16 (2 x 2 x 2 x 2) etc. sunt cunoscute ca puteri ale lui 2, şi pot fi scrise ca 2n, unde n reprezintă numărul de cifre 2 care se înmulţesc. Toate puterile lui 2 îşi ratează şansa la perfecţiune, pentru că suma divizorilor lor e întotdeauna mai mică decât numărul însuşi. Asta face ca ele să nu fie decât uşor defective:

2² = 2 x 2 = 4, 1+ 2 = 3,
2³ = 2 x 2 x 2 = 8, 1+ 2,+4 = 7,
2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16, 1+2+4+8 = 15,
2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32, 1+2+4+8+16 = 31.

Două secole mai târziu, Euclid avea să îmbunătăţească relaţia intuită de Pitagora între dualitate şi perfecţiune. Euclid a descoperit că numerele perfecte sunt întotdeauna multiplii a două numere dintre care unul este o putere a lui doi, iar celălalt putere a lui 2 minus 1. Astfel:

6 = 2¹ x (2²-1),
28 = 2² x (2³-1),
496 = 2⁴ x (2⁵-1),
8.128 = 2⁶ x (2⁷-1).

Calculatoarele de azi au continuat să caute numere perfecte şi au găsit exemple uimitoare ca 2²¹⁶⁰⁹⁰ x (2²¹⁶⁰⁹¹-1), un număr cu peste 130000 de cifre care respectă regula lui Euclid.

Pitagora era fascinat de bogăţia configuraţiilor şi proprietăţilor numerelor perfecte şi le admira fineţea şi subtilitatea. La prima vedere e uşor să înţelegi perfecţiunea şi totuşi grecii antici nu erau capabili să sesizeze unele dintre aspectele fundamentale ale problemei. Spre exemplu, deşi există o mulţime de numere ai căror divizori dau prin adunare un rezultat cu unu mai mic decât numărul însuşi, adică sunt doar uşor defective, se pare că nu există numere care să fie doar uşor excesive. Grecii n-au fost în stare să găsească numere a căror sumă a divizorilor era doar cu o unitate mai mare decât numărul însuşi, dar nu puteau explica de ce. Din păcate, deşi n-au reuşit să descopere numere uşor excesive, nu puteau dovedi că aceste numere nu există. A înţelege aparenta absenţă a numerelor uşor excesive era un lucru fără nici o valoare practică, totuşi aceasta era o problemă care ar fi putut arunca o anumită lumină asupra naturii numerelor şi deci merita să fie studiată. Asemenea enigme au intrigat pe adepţii sectei lui Pitagora, şi, 2500 de ani mai târziu, matematicienii nu reuşiseră încă să dovedească faptul că numerele uşor excesive nu există.


În afară de studiul relaţiilor între numere, Pitagora mai era interesat şi de legătura între numere şi natură. El a înţeles că fenomenele naturale sunt guvernate de legi şi că aceste legi pot fi descrise prin ecuaţii matematice. Unul dintre primele raporturi pe care le-a descoperit a fost relaţia fundamentală între armonia muzicii şi armonia numerelor.

Cel mai important instrument în muzica greacă timpurie era lira cu patru coarde sau cvarta. Înainte de Pitagora, muzicienii credeau că alăturarea anumitor note muzicale crea un efect plăcut şi şi-au acordat lirele astfel încât două coarde să genereze o astfel de armonie. Totuşi, primii muzicieni nu înţelegeau de ce doar anumite note erau armonioase şi ei nu aveau un sistem obiectiv de acordare a instrumentelor lor. În lipsa acestei înţelegeri, ei îşi acordau lirele după ureche până atingeau armonia - un proces pe care Platon l-a denumit "tortura coardelor".

Iamblichos, cărturarul din secolul al IV-lea care a scris nouă cărţi despre secta lui Pitagora, descrie cum acesta a ajuns să descopere principiile fundamentale ale armoniei muzicale:

Iamblichos scrie că Pitagora a intrat imediat în atelier pentru a analiza mai atent armonia ciocanelor. A observat că majoritatea ciocanelor puteau lovi simultan pentru a genera un sunet armonios, în timp ce orice combinaţie care conţinea un anumit ciocan genera întotdeauna un sunet neplăcut. A analizat ciocanele şi şi-a dat seama că cele ce intrau în armonie erau legate printr-o relaţie matematică simplă - masele lor se aflau în anumite rapoarte simple. Asta înseamnă că acele ciocane care cântăreau jumătate, două treimi sau trei sferturi din greutatea unui anume ciocan produceau sunete armonioase. Pe de altă parte, ciocanul ce distrugea armonia atunci când era lovit în acelaşi timp cu oricare dintre celelalte ciocane, avea o greutate care nu intra în nici un tip de relaţie simplă cu celelalte.

Pitagora descoperise că rapoartele numerice simple generau armonia muzicală. Oamenii de ştiinţă ne-au făcut să ne îndoim oarecum de relatarea lui Iamblichos, dar mai certă este modalitatea prin care Pitagora a aplicat această nouă teorie a rapoartelor muzicale asupra lirei, examinând proprietăţile unei singure coarde. Atingerea unei coarde putea să producă o notă standard sau un ton pe întreaga lungime a corzii în vibraţie. Fixând coarda în anumite puncte, se pot genera alte vibraţii şi tonuri. De o importanţă crucială este faptul că tonurile armonioase nu se întâlnesc decât în puncte foarte particulare. De exemplu, fixând nodul exact la jumătatea coardei, atingerea ei generează un ton care este cu o octavă mai sus şi în armonie cu tonul iniţial. La fel, fixând nodul astfel încât coarda să fie împărţită în trei, în patru sau în cinci părţi egale, se produc alte note armonioase. În schimb, dacă fixăm nodul într-un punct care nu este exact la o treime, un sfert sau o cincime din lungimea coardei, sau la o distanţă reprezentând o fracţie simplă, se generează un ton care nu mai este în armonie cu celelalte.

Pitagora a descoperit pentru prima dată o lege matematică guvernând un fenomen fizic şi a demonstrat că există o relaţie fundamentală între matematică şi ştiinţă. După această descoperire, oamenii de ştiinţă au căutat mereu legile matematice care se dovedesc a guverna toate procesele fizice şi au găsit că numerele sunt implicate în toate tipurile de fenomene naturale. Pentru exemplificare există un număr particular care controlează lungimea râurilor cu meandre. Profesorul Hans Henrik Stolum, mineralog la Universitatea din Cambridge, a calculat raportul dintre lungimea reală a râurilor de la izvor până la vărsare şi distanţa respectivă măsurată în linie dreaptă. Deşi raportul variază de la râu la râu, valoarea medie este cu puţin mai ridicată decât 3, adică lungimea efectivă este aproximativ de 3 ori mai mare decât lungimea în linie dreaptă. De fapt, raportul este de aproximativ 3,14, care este aproape de valoarea numărului ?, raportul dintre circumferinţa unui cerc şi diametrul său.

Numărul ? a fost dedus iniţial din geometria cercurilor şi totuşi el reapare în diverse alte contexte ştiinţifice. În cazul râurilor, apariţia lui este rezultatul unei lupte dintre ordine şi haos. Einstein a fost primul care a sugerat că râurile tind să adopte un traseu din ce în ce mai neregulat, pentru că şi cea mai neînsemnată curbă va genera curenţi mai rapizi în partea exterioară, care vor produce la rândul lor mai multă eroziune şi coturi mai ascuţite. Cu cât un cot e mai ascuţit, cu atât sunt mai rapizi curenţii dirijaţi spre exterior, cu cât va fi mai accentuată eroziunea, cu atât mai mult se va contorsiona cursul râului, şi aşa mai departe. Există totuşi un proces natural care va combate haosul: îndesirea meandrelor va avea drept efect dedublarea cursului real al râului şi, în cele din urmă, scurtcircuitarea lui. Râul va deveni tot mai drept, iar cotul va fi lăsat într-o parte, braţul lui mort formând un lac. Raportul dintre aceşti doi factori opuşi conduce la un raport mediu între lungimea reală şi distanţa în linie dreaptă dintre izvor şi vărsare. Raportul egal cu ? este, cel mai adesea, găsit pentru râuri ce curg în câmpii foarte puţin înclinate, cum sunt cele din Brazilia sau din tundra siberiană.

Pitagora a înţeles că numerele se ascund peste tot, de la armoniile muzicale la orbitele planetelor, iar aceasta l-a făcut să proclame că "Totul e Număr". Cercetând semnificaţia matematicii, Pitagora a creat un limbaj care a permis lui şi altora să descrie natura universului. De atunci, fiecare descoperire în matematică avea să ofere oamenilor de ştiinţă vocabularul de care aveau nevoie pentru a explica mai bine fenomenele înconjurătoare. De fapt, progresele matematice aveau să inspire revoluţii în ştiinţă.

Pe lângă faptul că a descoperit legea gravitaţiei, Isaac Newton a fost şi un matematician de valoare. Cea mai importantă contribuţie a sa în domeniul matematicii a fost dezvoltarea calculului diferenţial. În anii care au urmat, fizicienii au preluat acest limbaj spre a descrie mai bine legile gravitaţiei şi a rezolva probleme gravitaţionale. Teoria clasică a gravitaţiei elaborată de Newton a supravieţuit fără modificări secole întregi, până ce a fost înlocuită de teoria generală a relativităţii a lui Albert Einstein, care a oferit o explicaţie alternativă şi mai amănunţită a gravitaţiei. Însăşi teoria lui Einstein nu a fost posibilă decât datorită noilor concepte matematice care i-au oferit fizicianului un limbaj mai sofisticat pentru ideile sale ştiinţifice mai complexe. Astăzi, interpretarea gravitaţiei este din nou influenţată de descoperirile din matematică. Cele mai recente teorii cuantice ale gravitaţiei sunt legate de dezvoltarea teoriei "corzilor", un domeniu în care proprietăţile geometrice şi topologice ale tuburilor par să exprime cel mai bine forţele naturii.

Cea mai importantă dintre legăturile între numere şi natură studiate de sectă a fost acea care poartă numele fondatorului ei. Teorema lui Pitagora ne oferă o ecuaţie valabilă pentru toate triunghiurile dreptunghice şi care defineşte prin urmare însuşi unghiul drept. La rândul său, unghiul drept defineşte noţiunea de perpendicularitate, adică relaţia verticalei cu orizontala şi, în cele din urmă, relaţia dintre cele trei dimensiuni ale universului aşa cum îl percepem noi. Prin unghiul drept, matematica defineşte structura însăşi a spaţiului în care trăim.

Este o contribuţie de adâncă însemnătate, şi totuşi nivelul matematic necesar pentru a înţelege teorema lui Pitagora nu este deloc ridicat. Spre a o înţelege, începeţi pur şi simplu prin a măsura lungimile celor două laturi mai scurte ale unui triunghi dreptunghic (x şi y), apoi ridicaţi la pătrat fiecare din aceste valori. Efectuaţi adunarea celor două valori obţinute prin ridicare la pătrat (x²+y²) şi obţineţi o cifră finală. Dacă faceţi aceste operaţii pentru triunghiul din figura 2, răspunsul va fi 25.

Măsuraţi apoi latura cea mai lungă z, aşa-numita ipotenuză, şi ridicaţi la pătrat valoarea obţinută. Rezultatul remarcabil este că acest număr z este identic cu cel pe care tocmai l-aţi calculat, adică 5² = 25. Putem spune acum că

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Sau, cu alte cuvinte, (mai bine zis, în simboluri):


Aceasta este clar adevărat pentru triunghiul din figura 2, dar remarcabil este faptul că teorema lui Pitagora este adevărată pentru absolut orice triunghi dreptunghic. Este o lege universală în matematică, şi vă puteţi baza pe ea ori de câte ori aveţi de-a face cu un triunghi dreptunghic. Şi invers, dacă întâlniţi un triunghi care respectă teorema lui Pitagora, puteţi avea certitudinea absolută că este un triunghi dreptunghic. În acest punct este important să notăm că, deşi teorema aceasta va fi totdeauna asociată cu Pitagora, în realitate chinezii şi babilonienii o foloseau cu o mie de ani înaintea lui. Dar civilizaţiile acestea nu ştiau că teorema este adevărată pentru orice triunghi dreptunghic. Ea era cert adevărată pentru toate triunghiurile testate vreodată, însă nu s-a putut arăta că ea se verifică pentru toate triunghiurile dreptunghice netestate. Motivul pentru care teorema îi poartă numele lui Pitagora este că el a fost acela care i-a demonstrat pentru prima dată adevărul universal.

Dar de unde ştia Pitagora că teorema se verifică pentru orice triunghi dreptunghic? Nu putea spera să verifice infinita varietate a triunghiurilor dreptunghice, şi totuşi putea avea siguranţa nezdruncinată asupra adevărului absolut al teoremei. Motivul încrederii sale constă în conceptul de demonstraţie matematică. Căutarea demonstraţiei matematice este căutarea unei cunoaşteri mai aproape de absolut decât cunoaşterea acumulată de orice altă disciplină. Dorinţa de a afla adevărul suprem prin demonstraţie este cea care i-a însufleţit pe toţi matematicienii ultimilor 2500 de ani.


Povestea Marii Teoreme a lui Fermat gravitează în jurul căutării unei demonstraţii care lipsea. Demonstraţia matematică este mult mai puternică şi mai riguroasă decât conceptul de demonstraţie folosit în limbajul cotidian sau chiar decât conceptul de demonstraţie aşa cum este el înţeles de fizicieni sau chimişti. Diferenţa dintre demonstraţia ştiinţifică şi cea matematică este deopotrivă subtilă şi profundă, iar ea este crucială în înţelegerea operei oricărui matematician de la Pitagora încoace.

Ideea unei demonstraţii matematice clasice începe cu o serie de axiome, enunţuri care pot fi considerate ca adevărate de la bun început sau care sunt evidente prin ele însele. Apoi, prin intermediul argumentării logice, este posibil să ajungem pas cu pas la o concluzie. Dacă axiomele sunt corecte, iar logica este perfectă, atunci concluzia va fi de netăgăduit. Această concluzie este teorema.

Demonstraţiile matematice se bazează pe acest proces logic şi, o dată efectuate, ele îşi păstrează valoarea de adevăr până la capătul timpurilor. Demonstraţiile matematice sunt absolute. Spre a aprecia valoarea unor astfel de demonstraţii, ele ar trebui să fie comparate cu rudele lor mai sărace, demonstraţiile ştiinţifice. În ştiinţă, se enunţă o ipoteză pentru a explica un fenomen fizic. Dacă observaţiile fenomenului corespund fidel ipotezei, aceasta este un indiciu în favoarea ei. Apoi, ipoteza n-ar trebui să se reducă la descrierea unui fenomen cunoscut, ci să prezică rezultatele altor fenomene. Se pot efectua experimente spre a testa puterea de predicţie a ipotezei, şi, dacă şi acestea au succes, avem şi mai multe indicii în sprijinul ipotezei. În cele din urmă, cantitatea indiciilor poate fi copleşitoare, iar ipoteza e acceptată ca teorie ştiinţifică.

Teoria ştiinţifică nu poate fi niciodată demonstrată la acelaşi nivel de certitudine ca o teoremă matematică: ea este pur şi simplu considerată ca foarte probabilă pe baza indiciilor acumulate. Aşa-numita demonstraţie ştiinţifică se bazează pe observaţie şi percepţie, ambele fiind imperfecte şi oferind doar aproximări ale adevărului. Bertrand Russell observa: "Deşi poate apărea ca un paradox, toate ştiinţele exacte sunt guvernate de ideea de aproximare." Chiar şi cele mai acceptate "demonstraţii" ştiinţifice conţin totdeauna un mic element de îndoială. Uneori îndoiala slăbeşte, deşi ea nu dispare niciodată complet, în timp ce alteori demonstraţia se dovedeşte a fi eronată. Această slăbiciune a demonstraţiei ştiinţifice conduce la revelaţii ştiinţifice în care o teorie care se presupusese a fi corectă e înlocuită de o altă teorie, care poate fi, pur şi simplu, o rafinare a teoriei iniţiale sau o contrazicere completă a acesteia.

Spre exemplu, căutarea particulelor fundamentale ale materiei a făcut ca fiecare generaţie de fizicieni să răstoarne sau cel puţin să rafineze teoria predecesorilor lor. Căutarea modernă a blocurilor constitutive ale universului s-a declanşat la începutul secolului al XIX-lea, când o serie de experimente l-au condus pe John Dalton la concluzia că totul se compune din atomi discreţi, şi că atomii sunt fundamentali. La finele aceluiaşi secol, J. J. Thomson a descoperit electronul, prima particulă subatomică cunoscută, iar, drept urmare, atomul a încetat să mai fie fundamental.

În primii ani ai secolului al XX-lea, fizicienii şi-au format o imagine "completă" a atomului - un nucleu constând din protoni şi neutroni, în jurul căruia se rotesc electronii. S-a susţinut cu mândrie că protonii, neutronii şi electronii sunt toate particulele constitutive ale universului. Apoi, experimentele cu raze cosmice au dat la iveală existenţa altor particule fundamentale: pionii şi miuonii. O revoluţie încă mai importantă a avut ca punct de pornire descoperirea antimateriei în 1932 - existenţa antiprotonilor, antineutronilor, antielectronilor etc. La acea oră, specialiştii în fizica particulelor nu puteau spune cu certitudine câte particule diferite există, dar puteau cel puţin afirma cu tărie că aceste entităţi erau cu adevărat fundamentale. Asta până în anii '60, când s-a născut conceptul de cuarc. Protonul însuşi apare ca fiind constituit din astfel de particule încărcate fracţionar, ca şi neutronul, pionul şi miuonul. Morala acestei poveşti este că fizicienii îşi modifică neîncetat imaginea despre univers atunci când nu şi-o anulează complet pentru a porni de la zero. În deceniul următor, conceptul însuşi de particulă ca obiect punctiform ar putea fi înlocuit de ideea de particule-corzi, aceleaşi corzi care sunt cele mai adecvate pentru a explica gravitaţia. Teoria spune că nişte corzi cu o lungime reprezentând o miliardime de miliardime de miliardime de miliardime dintr-un metru (atât de mici încât apar ca fiind punctiforme) pot vibra diferit, iar fiecare vibraţie naşte o altă particulă. Aceasta echivalează cu descoperirea lui Pitagora că o singură coardă a unei lire poate genera diverse note, în funcţie de modul cum vibrează.

Autorul de science-fiction şi futurologul Arthur C. Clarke a scris că atunci când un profesor eminent afirmă că ceva este neîndoielnic adevărat, este probabil ca afirmaţia respectivă să se dovedească a doua zi falsă. Demonstraţia ştiinţifică este în mod inevitabil capricioasă şi îndoielnică. Demonstraţia matematică este, dimpotrivă, absolută şi indubitabilă. Pitagora s-a stins având certitudinea că teorema sa, adevărată în anul 500 î.Cr., va rămâne adevărată pentru vecie.

Ştiinţa se conduce după un sistem imparţial. O teorie este considerată adevărată dacă există suficiente indicii pentru a demonstra că este "dincolo de orice îndoială raţională". Dimpotrivă, matematica nu se bazează pe indicii provenind din experimente supuse eşecului, ci pe o logică infailibilă. Acest adevăr e demonstrat de problema "tablei de şah incomplete", ilustrate în figura 3.


Avem o tablă de şah căreia i-au fost extrase două pătrate din colţuri opuse, deci rămân doar 62 de pătrate. Vom lua acum 31 de piese de domino de dimensiuni corespunzătoare astfel încât fiecare piesă să acopere exact două pătrate. Întrebarea este: putem aranja cele 31 de piese de domino astfel încât ele să acopere toate cele 62 de pătrate de pe tabla de şah?


Există două abordări ale acestei probleme:

(1) Abordarea ştiinţifică
Omul de ştiinţă va încerca să rezolve această problemă experimentând, iar după ce va fi încercat câteva duzini de aranjamente, va descoperi că toate eşuează. În cele din urmă, el va ajunge la concluzia că există destule indicii pentru a dovedi că tabla nu poate fi acoperită. Totuşi, omul de ştiinţă nu are nici o certitudine, căci ar putea exista un aranjament pe care nu l-a încercat şi care să funcţioneze. Există milioane de posibilităţi diferite de amplasare şi nu putem încerca decât o mică parte din ele. Concluzia că această problemă nu are soluţie este o teorie bazată pe experiment, dar omul de ştiinţă va trebui să accepte posibilitatea ca într-o bună zi teoria să-i fie răsturnată.

(2) Abordarea matematică
Matematicianul încearcă să găsească o soluţie prin construirea unei argumentaţii care va conduce la o concluzie indubitabil corectă, ce va rămâne valabilă pentru totdeauna. O astfel de argumentaţie este următoarea:
-Pătratele extrase din colţurile tablei de şah erau amândouă albe. Avem acum, deci, 32 de pătrate negre şi doar 30 albe.
-Fiecare piesă de domino acoperă două pătrate învecinate, iar astfel de pătrate sunt mereu de culori diferite, adică unul e alb, celălalt e negru.
-În consecinţă, indiferent de modalităţile de aranjare, primele 30 de dominouri aşezate pe tablă trebuie să acopere 30 de pătrate albe şi 30 negre.
-În consecinţă, vom rămâne întotdeauna cu un domino şi cu două pătrate negre.
-Dar să ne amintim că toate piesele de domino acoperă două pătrate învecinate, iar astfel de pătrate au culori diferite. Totuşi, cele două pătrate care rămân sunt de aceeaşi culoare şi, deci, nu pot fi amândouă acoperite de o singură piesă de domino. În consecinţă, tabla e imposibil de acoperit!
Demonstraţia aceasta evidenţiază faptul că orice aranjament posibil al pieselor de domino pe o tablă de şah incompletă este sortit eşecului. La fel şi-a conceput şi Pitagora demonstraţia care arată că orice triunghi dreptunghic se va conforma teoremei sale. Noţiunea de demonstraţie matematică era sacră pentru Pitagora şi datorită demonstraţiei a reuşit secta lui să facă atât de multe descoperiri. Multe demonstraţii moderne sunt incredibil de complicate, iar unui neiniţiat i-ar fi imposibil să urmărească logica lor, dar, din fericire, argumentaţia ce stă la baza teoremei lui Pitagora este relativ simplă şi se bazează doar pe matematica din şcoală. Demonstraţia este inclusă în Anexa 1.

Demonstraţia lui Pitagora este de necontestat. Ea arată faptul că teorema lui se verifică pentru orice triunghi dreptunghic din univers. Descoperirea a fost atât de importantă, încât o sută de boi au fost sacrificaţi în semn de recunoştinţă faţă de zei. Descoperirea a fost o piatră de hotar în matematică şi una dintre cele mai însemnate realizări din istoria civilizaţiei. Semnificaţia ei era dublă. Mai întâi, contribuţia ei la dezvoltarea ideii de demonstraţie. Un rezultat demonstrat matematic este mai profund adevărat decât orice alt adevăr pentru că este rezultatul unui raţionament logic urmărit pas cu pas. Deşi filozoful Thales inventase deja nişte demonstraţii geometrice primitive, Pitagora a condus această idee mult mai departe şi a reuşit să demonstreze formule matematice mult mai ingenioase. A doua consecinţă a teoremei lui Pitagora este faptul că pune în legătură metoda matematică abstractă cu ceva palpabil. Pitagora a arătat modul în care adevărurile matematice pot fi aplicate lumii ştiinţifice şi se pot constitui în fundamentul logic al acesteia. Matematica oferă ştiinţei un punct de pornire riguros, iar pe această fundaţie infailibilă oamenii de ştiinţă pot adăuga măsurători lipsite de acurateţe şi observaţii imperfecte.


Secta lui Pitagora a dat un nou suflu matematicii datorită zelului cu care a căutat adevărul, prin intermediul demonstraţiei. Vestea succesului ei s-a răspândit, şi totuşi amănuntele descoperirilor au rămas învăluite într-un secret de nepătruns. Mulţi au cerut să intre în sanctuarul cunoaşterii, dar numai minţile cele mai luminate au fost admise. Printre cei respinşi a fost şi un candidat pe nume Cylon. El a devenit un caz excepţional din categoria celor umiliţi prin refuz şi s-a răzbunat 20 de ani mai târziu.

În timpul celei de-a 67-a Olimpiade (510 î.Cr.) s-a declanşat o revoltă într-un oraş de lângă Sybaris. Telys, conducătorul victorios al revoltei, a iniţiat o campanie barbară de persecuţie împotriva susţinătorilor fostei guvernări, fapt care i-a făcut pe mulţi să caute refugiu în Crotona. Telys a cerut ca trădătorii să fie retrimişi la Sybaris spre a-şi primi pedeapsa cuvenită, dar Milon şi Pitagora i-au convis pe cetăţenii din Crotona să se împotrivească tiranului şi să-i protejeze pe refugiaţi. Telys s-a înfuriat şi a format imediat o armată de 300.000 de oameni cu care s-a îndreptat spre Crotona, unde Milon a apărat cetatea cu 100.000 de cetăţeni înarmaţi. După 70 de zile de război, măiestria generalului Milon a condus la victorie şi, ca pedeapsă, a îndreptat cursul râului Crathis asupra oraşului Sybaris ca să-l inunde şi să-l distrugă.

În ciuda deznodământului luptei, oraşul Crotona era încă în fierbere datorită neînţelegerilor asupra destinaţiei ce trebuia dată prăzii de război. Oamenii de rând din Crotona au început să protesteze, temându-se că pământurile vor fi împărţite elitei pitagoreice. Mulţimea începea să urască secta pentru secretul în care-şi ţinea descoperirile, dar nimic nu s-a materializat până când Cylon nu s-a decis să dea glas nemulţumirii populare. Cylon a stârnit frica, paranoia şi invidia mulţimii şi a condus-o într-o misiune de distrugere a celei mai luminate şcoli de matematică pe care o cunoscuse lumea până atunci. Casa lui Milon şi şcoala de lângă ea au fost înconjurate, uşile au fost încuiate şi blocate pentru a împiedica orice evadare, apoi li s-a dat foc.

Milon a luptat şi a reuşit să se salveze din acest infern, dar Pitagora a fost ucis, alături de mulţi discipoli ai săi.

Matematica îşi pierduse cel mai de seamă erou, dar spiritul pitagoreic a continuat să dăinuiască. Numerele şi adevărul lor erau nemuritoare. Pitagora demonstrase că matematica, mai mult decât orice altă disciplină, nu se supune subiectivităţii. Discipolii săi nu aveau nevoie de mentorul lor pentru a hotărî valabilitatea unei anume teorii. Adevărul unei teorii nu depinde de păreri. În schimb, construcţia logicii matematice devenise arbitrul adevărului. Aceasta era cea mai însemnată contribuţie a lui Pitagora la civilizaţia umană - o modalitate de a ajunge la adevăr care e mai presus de imperfecţiunea judecăţii umane.

După moartea fondatorului şi atacul lui Cylon, secta a părăsit Crotona îndreptându-se spre alte oraşe din aşa-numita Grecie Mare, dar persecuţiile au continuat şi, în cele din urmă, mulţi s-au văzut obligaţi să se stabilească în ţări străine. Această migrare forţată i-a încurajat pe pitagoreici să-şi predice evanghelia matematică în întreaga lume antică. Discipolii lui Pitagora au întemeiat şcoli noi şi i-au învăţat pe elevi metoda demonstraţiei logice. În afară de demonstrarea teoremei lui Pitagora, au explicat întregii lumi şi secretul aşa-numiţilor tripleţi pitagoreici.


Tripleţii pitagoreici sunt combinaţii de 3 numere întregi care se potrivesc perfect ecuaţiei pitagoreice: spre exemplu, ecuaţia lui Pitagora este adevărată dacă x = 3, y = 4 şi z = 5.

O altă modalitate de a concepe tripleţii lui Pitagora este prin rearanjarea pătratelor. Dacă luăm, spre exemplu, un pătrat 3 x 3, format din 9 plăci, şi un pătrat 4 x 4, format din 16 plăci, atunci toate plăcile pot fi aranjate astfel încât să obţinem un pătrat 5 x 5, format din 25 de plăci, ca în figura 4.

Pitagoreicii au vrut să găsească alţi tripleţi pitagoreici, alte pătrate care, adunate, să dea un al treilea pătrat, mai mare. Un alt triplet pitagoreic este x = 5, y = 12 şi z = 13:
5² + 12² = 13² 25 + 144= 169.
Un alt triplet pitagoreic mai mare este x = 99, y = 4900 şi z = 4901.

Tripleţii pitagoreici devin din ce în ce mai rari pe măsură ce numerele cresc, iar găsirea lor devine din ce în ce mai dificilă. Spre a găsi cât mai mulţi tripleţi, pitagoreicii au inventat o metodă specială şi au demonstrat astfel că există un număr infinit de tripleţi pitagoreici.


Teorema lui Pitagora şi infinitatea ei de tripleţi erau discutate în cartea lui E. T. Bell - Ultima problemă, cartea de la bibliotecă ce i-a atras atenţia tânărului Andrew Wiles. Deşi secta lui Pitagora obţinuse o înţelegere aproape deplină a tripleţilor pitagoreici, Wiles a descoperit curând că această ecuaţie aparent nevinovată are şi o parte întunecată - cartea lui Bell vorbea despre existenţa unui monstru matematic.

În ecuaţia lui Pitagora cele 3 numere x, y şi z sunt toate la pătrat: (adică x² = x x x):


Cartea descria însă o ecuaţie înrudită în care x, y şi z sunt toate la cub (adică x³ = x x x x x). Aşa-numita putere a lui x în această ecuaţie nu mai este 2, ci 3:


Erau oarecum uşor de obţinut soluţii în numere întregi, adică tripleţi pitagoreici pentru prima ecuaţie, dar schimbarea exponentului de la 2 la 3 (de la pătrat la cub) pare să conducă la o ecuaţie fără soluţii în numere întregi. Generaţii de matematicieni înnegrind foi de caiet au eşuat în a găsi numere care să se potrivească perfect acestei ecuaţii.

În prima ecuaţie, "pătratică", provocarea era să rearanjăm plăcile din primele două pătrate spre a obţine un al treilea pătrat, mai mare. Varianta "cubică" a provocării este să rearanjăm două cuburi formate din blocuri într-un al treilea cub mai mare. S-ar părea că, indiferent cu care cub începem, atunci când ele sunt combinate, rezultatul obţinut este fie un cub întreg cu câteva blocuri rămase pe dinafară, fie un cub incomplet. Rezultatul cel mai apropiat de un aranjament perfect este cel în care lăsăm pe dinafară sau rămânem fără un singur bloc constitutiv. Spre exemplu, dacă începem cu cuburile 6 x 6 x 6 şi 8 x 8 x 8 şi rearanjăm blocurile constitutive, ne lipseşte unul singur pentru a forma un cub complet 9 x 9 x 9, aşa cum reiese din figura 5.


Pare imposibil să găsim 3 numere care să se potrivească perfect ecuaţiei cubice. Cu alte cuvinte, se pare că nu există soluţii în numere întregi ale ecuaţiei

x³ + y³ = z³.

Mai mult, dacă schimbăm exponentul de la 3 (cub) la un număr mai mare (adică 4, 5, 6,...), e imposibil de găsit vreo soluţie. S-ar părea că nu există numere naturale soluţii ale ecuaţiei mai generale

xⁿ + yⁿ = zⁿ
unde n este mai mare ca 2.

Înlocuindu-l pur şi simplu pe 2 din ecuaţia lui Pitagora cu oricare alt număr mai mare, înlocuim soluţiile în numere întregi relativ simple cu unele ameţitoare ca dificultate. De fapt, marele matematician din secolul al XVII-lea Pierre de Fermat a emis ipoteza uluitoare că motivul pentru care nimeni nu fusese capabil să găsească soluţii este că nu există soluţii.

Fermat a fost una dintre cele mai strălucitoare şi mai insolite figuri ale matematicii. E imposibil ca el să fi verificat infinitatea de numere, dar era absolut sigur că nu exista nici o combinaţie care să se potrivească perfect ecuaţiei, căci afirmaţia sa era, pesemne, susţinută de o demonstraţie. Ca şi Pitagora, care nu a trebuit să verifice fiecare triunghi pentru a demonstra validitatea teoremei sale, nici Fermat nu a trebuit să verifice fiecare număr pentru a demonstra validitatea teoremei sale. Marea Teoremă a lui Fermat, aşa cum e ea cunoscută, afirma că

xⁿ + yⁿ = zⁿ

nu are soluţii în numere întregi pentru n mai mare decât 2.

Citind capitolele cărţii lui Bell, Wiles a aflat de fascinaţia lui Fermat pentru opera lui Pitagora şi cum a început el în cele din urmă să studieze forma modificată a ecuaţiei lui Pitagora. A citit apoi afirmaţia lui Fermat care proclama faptul că şi dacă toţi matematicienii lumii ar petrece o eternitate căutând soluţia ecuaţiei, tot ar eşua. Probabil că Wiles a întors imediat paginile, nerăbdător să examineze demonstraţia Marii Teoreme a lui Fermat. Dar demonstraţia nu se afla acolo. Nu se afla nicăieri. Bell îşi încheia cartea spunând că demonstraţia fusese pierdută cu mult timp în urmă. Nu exista nici o menţiune despre cum ar fi putut suna ea, nici o indicaţie despre cum ar fi putut fi ea construită sau derivată. Wiles era uimit, înfuriat şi intrigat. Se afla într-o bună companie.

Vreme de 300 de ani mulţi dintre cei mai mari matematicieni încercaseră fără succes să redescopere demonstraţia pierdută a lui Fermat. Când o generaţie capitula, următoarea devenea mai îndârjită şi mai hotărâtă. În 1742, la aproape un secol după moartea lui Fermat, matematicianul elveţian Leonhard Euler i-a cerut prietenului său Clêrot să cerceteze casa lui Fermat în speranţa că ar mai fi existat vreun petec de hârtie de importanţă capitală. N-a fost găsit nici un indiciu privind demonstraţia lui Fermat. În capitolul 2 vom afla mai multe despre misteriosul Pierre de Fermat şi despre modul în care teorema sa a ajuns să se piardă, dar deocamdată e de-ajuns să ştim că Marea Teoremă a lui Fermat, problema care-i fascinase vreme de secole pe matematicieni, pusese stăpânire şi pe imaginaţia tânărului Andrew Wiles.

Un băieţel de 10 ani stătea în biblioteca de pe strada Milton, frământându-şi capul cu cea mai aiuritoare problemă a matematicii. De obicei, jumătate din dificultatea unei probleme de matematică constă în înţelegerea întrebării, dar în cazul acesta ea era extrem de simplă - demonstraţi că xⁿ + yⁿ = zⁿ nu are soluţii în numere întregi pentru n mai mare ca 2. Andrew nu era intimidat de faptul că ştiinţa celor mai luminate minţi ale planetei nu reuşise să redescopere demonstraţia. Se puse imediat pe lucru, folosind toate tehnicile din cărţi pentru a încerca să regăsească demonstraţia. Poate va fi capabil să găsească ceva pe care nimeni altcineva, cu excepţia lui Fermat, n-a fost în stare să-l sesizeze. A visat că poate şoca lumea întreagă.

Treizeci de ani mai târziu, Andrew Wiles terminase de vorbit. În faţa publicului adunat în sala de la Institutul Sir Isaac Newton, el aşternu pe tablă nişte rânduri scrise în grabă şi apoi, străduindu-se cu greu să-şi ascundă emoţia, privi spre public. Prelegerea se apropia de punctul culminant şi cu toţii ştiau acest lucru. Unul sau doi dintre ei strecuraseră aparate de fotografiat în sală şi lumina bliţului însoţea remarcile lui concluzive.

Cu creta în mână, se întoarse pentru ultima dată spre tablă. Ultimele rânduri de logică încheiau demonstraţia. Pentru prima dată după aproape 300 de ani, provocarea lui Fermat primise răspunsul. Au clipit alte bliţuri pentru a imortaliza acest moment istoric. Wiles a scris pe tablă formula Marii Teoreme a lui Fermat, s-a întors spre public şi a spus cu modestie: "Cred că mă voi opri aici."

Două sute de matematicieni aplaudară şi aclamară cu entuziasm. Chiar şi cei ce anticipaseră rezultatul zâmbiră neîncrezători. După 30 de ani, Andrew Wiles credea că îşi împlinea visul şi, după şapte ani de claustrare, îşi dezvăluia calculele secrete. Totuşi, tragedia era pe cale să izbucnească chiar în timp ce Institutul Newton era invadat de euforie. Trăind bucuria momentului, nici Wiles, nici altcineva dintre cei de faţă nu bănuiau nenorocirile care aveau să urmeze.